Почему не существует формулы сокращённого умножения a²+b² ?

А что тут сокращать? Формулы преобразования существуют и их масса. Например, вы можете вычислить a^2 + b^2 как (a + b)^2-2*a*b, если вам так удобно. Или, например, можно это записать в комплексных числах как (a+ib)*(a-ib), где i - мнимая единица, или, например, в тех же комплексных числах можно представить это как |А|^2, если Re(A) = a, а Im(A) = b. В общем представлений этой суммы квадратов хватает, но просто к сокращенному умножению эти формулы не имеют никакого отношения.