Азербайджанцы в основном произносят мягко окончание. Наверное поэтому Соловьёв считает что именно так и правильно говорить. Местное население знает, наверное, как говорить правильно, думаю. Хотя наречий в любом языке много. Вот город Одесса, в основном произносят в России Одэсса. Хотя пишут через е. Я однажды слышала, что правильно говорить через е. Потому что в Одессе говорят так же, как и пишется название города. Я так считаю. Да и какая разница кто как говорит. Понятно о чём речь?! Так в чём проблема?
Я понятия не имею, почему какой-то ведущий говорит именно так, как он говорит, но точно знаю, что Азербайджан – это иранское историческое название региона в северо-западном Иране, а для названия автономной области на территории России его придумали использовать только в 1918 г.