Во-первых, надо сначала определиться с понятиями "президентская республика" и "Западная Европа".
Президентская республика, если своими словами - это республика, в которой главой исполнительной власти и главой государства является избираемый президент. Альтернативой такой республики является "парламентская республика", где главой исполнительной власти является премьер-министр и правительство, назначаемые избираемым парламентом, при этом главой государства, как правило, является президент, с очень ограниченными и сугубо представительскими функциями. При всем при этом, все или почти все президентские и парламентские республики возникли на месте павших монархий.
"По версии ООН" Западная Европа это 11 стран: Австрия, Бельгия, Великобритания, Германия, Ирландия, Лихтенштейн, Люксембург, Монако, Нидерланды, Франция, Швейцария. Из них 6 - вообще монархии, пусть и конституционные (Бельгия, Великобритания, Лихтенштейн, Люксембург, Монако, Голландия) - глава государства монарх (король, великий князь и т.д.) - здесь не может быть президентской республики по определению (как и парламентской). Франция - это самая, что ни на есть президентская республика, ибо Генерал де Голь, совершенно точно понял, что для его страны наиболее удачно. После всех революций во Франции всякая парламентская республика проваливалась. Сейчас, так называемая Пятая республика, президентская, причем с 5 летним сроком президентства (а еще недавно 7 летним). В этом плане можно развить мысль об исторической "монархичности" французского менталитета, склонного к сильному государственному лидеру, несмотря на все свои "социалистические" и "революционные пристрастия", что возможно обусловлено долгим периодом устойчивого абсолютизма (дольше, наверное, только у нас). Итого 7. Осталось 4.
Швейцария - исторически являлась федеративной республикой (в разное время принимавшая разные формы). Ни в какой другой форме ее не было никогда.
Германия. Относительно молодое государство (в 1870-х оформилась, как единое). В качестве единого государства, настоящей абсолютной монархией никогда не была, но стала парламентскими республикой лишь после Первой мировой. Что не помешало, однако, прийти к власти там диктаторского режима, не буду напоминать о ком речь, после которого было две Германии, обе парламентские (если уж насчет формы, то СССР был тоже парламентской республикой, но не об этом речь).
Австрия - после Первой мировой войны Австро-Венгерская империя потеряла все, превратившись в субрегиональную страну, с которой по сути никто не считался, но да, она стала парламентской республикой.
Ирландия. Получив независимость в 1922 году, это древнее государство стало парламентской республикой к 1948 году, когда окончательно отсоединилось от Великобритании.
Усматривая некоторый подтекст в вопросе, дескать, "почему во всем прогрессивном мире укоренилась парламентская республика, как наиболее демократичная?", хочу заметить, что вопрос изначально немного лишен смысла (а уж подтекст, если он был, точно). Из 11 стран Западной Европы лишь 4 являются парламентскими республиками. Остальные, либо парламентские (в разной степени) монархии, либо это "президентская Франция".
Если уж и анализировать на тему наиболее "правильного", то надо, наверное, классифицировать по другому. Нужно взять даже всю Европу, взять ее основных членов, от которых вообще что-то зависит в политике региона и мира, их всего несколько (игрушечные ли бедные государства не в счет) и посмотреть, что из них вообще "республика", найти там два государства-республики, одна из них парламентская - Германия, а вторая Франция - президентская.
Президентская республика крайне неэффективная форма правления. Обычно все республики недолговечны.
У Европы опыт - Венеция, Генуя, Голландия. В России - Псков и Новгород.
Все республики живут только до первой серьезной угрозы а потом переходят а разряд прекрасных мифов.