Теперь Кью работает в режиме чтения

Мы сохранили весь контент, но добавить что-то новое уже нельзя

Почему производная касательной равна производной функции в точке касания?

Факт, конечно, общеизвестный, но на чём основывается данное утверждение?

МатематикаГеометрияАлгебра
Сергей Полевой
  · 2,6 K
Редактор, автор и переводчик книг по математике  · 5 июн 2021  ·
problemaday

По определению, но надо уточнить формулировку.

Касательная -- это прямая линия, у прямой линии нет производной. Но мы можем записать уравнение функции, графиком которой является эта касательная. Поэтому лучше сказать так:

Производная функции f в точке касания равна производной функции g, графиком которой является касательная к графику f.

Определения производной могут несколько отличаться в разных учебниках, но смысл такой: производная -- предел отношения приращения функции к приращению аргумента (когда последнее стремится к нулю).

В учебниках обычно показывают, что тогда производная функции f равна тангенсу угла наклона касательной. Эту теорему иногда называют геометрическим смыслом производной. В разных курсах доказывают её с разной степенью строгости. Производная функции g тоже равна тангенсу угла наклона касательной. Это доказать совсем несложно, так как функция g линейная.

Незадача Кью. Решение задач по математикеПерейти на yandex.ru/q/loves/7b65a89f-f3fa-4aac-9d7b-824b66b44f01
Мне казалось, что у прямой (линейная функция) есть производная — ее угловой коэффициент. Сама прямая во всех... Читать дальше