Давайте рассуждать. Если женщина пришла в больницу, то очень вероятно, что она приболела. А если приболела, значит у нее не так уж много сил. А сделать прическу - помыть и уложить волосы - довольно энергозатратное мероприятие и в больном состоянии тратить на это силы очень не хочется, или сил вовсе нет, не оптимальное вложение ресурса. )) Поэтому идут женщины в больницу без прически.
Теперь к вопросу - почему не снимают шапки. Многим женщинам важно, как они выглядят, даже будучи приболевшими. Поэтому довольно разумно остаться в шапке.
А вот то, что в этот момент они испытывают и стесняются ли, думаю, зависит от конкретной женщины и того, насколько она склонна испытывать стеснение вообще.