Правда ли, что Германия всё же предупредила СССР о нападении в 1941 году?

И да, и нет. Предупреждение действительно было. 
Поздним вечером 21 июня 1941 года в посольство Германии в Москве было по радио передано сообщение, содержавшее указания об уничтожении шифровальной аппаратуры, а так же текст меморандума об объявлении войны, который послу было приказано зачитать Молотову ровно в 3 часа той же ночью. 
В ту же ночь, в 2 часа по Московскому времени посол СССР в Берлине был вызван к Рибентроппу, где ему был зачитан тот же меморандум. (Тут надо отметить, что и посла Деканозова, и наркома Молотова этот меморандум поверг в невероятный шок)

Так что да, формальное объявление войны было сделано, и немцы наше руководство предупредили. Но сделано это было за считанные часы до самого нападения и наше руководство ничего не смогло сделать. Это, правда, не объясняет, почему лично Сталин не верил в начало войны как минимум первые несколько дней.

Формально, правда. Германский посол Фридрих Шулленбург передал Вячеславу Молотову ноту об объявлении войны за 15-20 минут до того как самолёты люфтваффе пересекли границу. Можно ли это считать реальным предупреждением - судите сами.

Нет. Ув. Левин выше написал, что войну объявили "за несколько часов" до начала наступления немецких войск, но это, судя по всему, не так. Во всяком случае, в лежащей у меня дома "полной хронике ВОВ" вызов советского посла в Берлине МИД Германии заявлен  на 04:00 МСК, а визит германского посла к Молотову в Москве - на 05:30 МСК