Какую роль играли бьянки в средневековье и кто это вообще такие были?

Судя по тегу "секты" — вы и так примерно в курсе, кем "братства кающихся" были.

Ну да, это христианские секты в фокусом на экстремальный накал покаяния, которые возникли в Италии ещё в XIII веке, существенно набрали силы во время чумы и прочих испытаний следующего столетия (неудивительно), а к Позднему Средневековью распространились довольно широко (уже прежде всего во Франции). Они далеко не только самобичеванием на улицах занимались — велась довольно широкая благотворительная деятельность, "кающиеся" активно заботились о больных, заключённых и так далее. Всё это чем-то напоминало изначальную деятельность госпитальеров.

К слову, термин "бьянки" все подобные движения не описывает — далеко не все они и не всегда носили белое. Это скорее локальная примета, лучше говорить именно о "кающихся".