Смотрят, особенно в республиках бывшего СССР. Практически все что показывают на российском ТВ смотрят в Беларуси, до недавних лет смотрели и в Украине. Многие проекты делаются совместно с ближайшими соседями и демонстрируются одновременно в нескольких странах.
Если же говорить о просмотре в других странах, то там дела похуже. Так как фильмы и сериалы РФ закупают в прокат реже советских (например, самый успешный за рубежом советский фильм"Война и мир" Бондарчука прокрутили в 117 странах и регулярно повторяют на ТВ до сих пор, а "Приключения Холмса и Ватсона" прорвались на родину франшизы на британское ТВ причем смотрела и нахваливала даже королева), то смотрят их в основном не по ТВ. Чаще всего их покупают для выпуска на дисках или показа в самолетах, в последнее время - для онлайн-кинотеатров. Причем в силу формата чаще покупают именно фильмы и мультфильмы. Зато гораздо чаще покупают права на адаптацию (например, немцы адаптировали "Папиных дочек").
Примеры прорыва российских оригинальныхх сериалов на чужие рынки тоже есть. Например, "Бедная Настя" стала хитом в Китае, "Моя прекрасная няня" неплохо показалась и в Азии и в Европе, "Мастер и Маргарита" "выстрелил" в Чехии, "Каменская" с успехом прошла во Франции. Есть и еще примеры, но хватит и этих.
Знаю, что в Штатах определённой популярностью пользуются "Смешарики". Только называются они там "Gogoriki" : D
Также, насколько я знаю, в Азиатских странах очень популярен Чебурашка 😊