Как звучит теорема Геделя?

Существует две теоремы математической логики, доказанные Куртом Гёделем в 1930 году, и названные его именем. Это:

1. Теорема Гёделя о неполноте, которая утверждает «если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула».
2. Вторая теорема Гёделя утверждает, что «если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики».

Формулировки:

1. "Для произвольной непротиворечивой формальной и вычислимой теории, в которой можно доказать базовые арифметические высказывания, может быть построено истинноеарифметическое высказывание, истинность которого не может быть доказана в рамках теории".

2. "Для любой формально рекурсивно перечислимой (то есть эффективно генерируемой) теории T, включая базовые арифметические истинностные высказывания и определённые высказывания о формальной доказуемости, данная теория T включает в себя утверждение о своей непротиворечивости тогда и только тогда, когда теория T противоречива".

Теорема Геделя о неполноте звучит следующим образом:

Всякая достаточно сильная рекурсивно аксиоматизируемая непротиворечивая теория первого порядка неполна.

Это вариант обобщенной формулировки теоремы.