Вопрос поставлен не совсем корректно, поскольку латинский язык не распространялся ни в восточной, ни в западной частях Римской империи. Он был официальным языком всей Римской империи ещё до её развала в 476 году. То есть, все народы римской империи (всех её частей) должны были владеть латинским языком как государственным. И после распада империи на Западную и Восточную латинский язык оставался официальным и единственным международным языком общения для всех жителей бывшей единой империи ещё сотни лет (примерно до 8 - 10 века).
Однако, в Восточной империи (Византии) был свой развитый этно-культурный слой греческой традиции с древнегреческим языком в основе. Вот именно он и был выбран в качестве замены языка завоевателей и преобразован в государственный язык Византии. Но это произошло гораздо позже, окончательно византийский устав (и вариант греческого языка) оформился только к 10 веку.