Теоретически возможно. Правда, сейчас этот процесс стал гораздо сложнее.
Новый конструктор, оформленный по всем правилам, должен поставиться на учет без особых проблем.
Но, вполне возможно, что в ГИБДД могут отказать в регистрации конструктора, если это ТС уже давно было оформленно. Т.е. затруднение касается старых, подержанных конструкторов. Такие ТС уже изначально расцениваются как "внесенные в конструкцию транспортного средства изменения не соответствуют правилам безопасности колесных транспортных средств в соответствии с ТС ТР".
Если все-таки появились проблемы при регистрации конструктора (даже если он новый), то придется обращаться в Центр экспертизы, аккредитованный для работы с автотранспортом. Они будут проверять авто и вынесут вердикт, годен этот транспорт или нет.