Именно магнитное поле нет, в системе отсчета заряда его нет. Но тут надо принять во внимание важный факт, что электрическое и магнитное поле - это одно и то же явление. Вот пусть у Вас есть заряд, который движется в магнитном поле и отклоняется в нем куда-то, магнитное поле отклоняет только движущиеся заряды и только в направлении перпендикулярном движению заряда и магнитному полю. Перейдем в систему отсчета самого заряда. Но на него явно действует какая-то сила, потому что он ускоряется, а ускорение - вещь инвариантная. Эта сила не может быть магнитной, потому что заряд покоится, но она очевидно зависит от величины заряда. Получается, что это электрическая сила. То есть магнитное поле в одной системе отсчета переходит в электрическое в другой и наоборот.
Это происходит из-за специальной теории относительности, связь достаточно сложная, и на пальцах ее не объяснишь. Проще всего ее понять для незаряженного проводника с током. Вокруг него есть магнитное поле, а значит для движущегося заряда в его системе отсчета должно быть и электрическое (если двигаться вдоль проводника). Откуда оно берется? Из-за релятивистского сокращения расстояний, как ни странно. В движущейся системе отсчета проводник будет выглядеть сжатым, но положительные покоящиеся относительно проводника ядра и движущиеся относительно проводника электроны будут двигаться с разной скоростью относительно заряда, а значит по-разному сожмутся. В итоге в системе отсчета заряда возникнет разница в плотности зарядов, проводник станет выглядеть заряженным, у него появится электромагнитное поле, которое и будет притягивать заряд. В системе отсчета проводника мы такой эффект назовем магнитным полем. Других простых примеров я не знаю.
Итак, если говорить о полноценном электромагнетизме, может ли электромагнитное поле заряда действовать на него самого? Ответ: да, конечно может и действует. В случае когда заряд движется с ускорением и излучает. Тогда электромагнитное (электрическое) поле направлено против движения заряда и тормозит его. Именно так заряд и теряет свою энергию при излучении, электромагнитные волны же уносят эту энергию прочь от заряда.
Для полноты картины отмечу, что точечный равноускоренный заряд не испытывает торможения излучением. Это известный артефакт теории, возникает он от того, что у электромагнитного поля есть масса, а масса поля точечного заряда бесконечна. Решается он тем, что точечных классических зарядов в природе нет. Природа у нас квантовая, а на сверхмалых масштабах и при сверхбольших энергиях (например Планковских) мы вообще не знаем какая.
Я считаю данный ответ сомнительным.