Возможно ли скрестить голубя и попугая традиционным способом без генной инженерии?

Нет, это невозможно.
Давать жизнеспособное потомство иногда получается у близких видов, относящихся к одному роду. Реже - у особей, принадлежащих к разным родам внутри семейства. Но в обоих случаях потомки могут получиться бесплодными и склонными давать в ряду поколений всё более ущербное потомство (если интересно, почитайте про разрушение гибридов).

Сизый голубь относится к отряду Голубеобразных, любой попугай - к отряду Попугаеобразных. Отряды - самые большие таксоны внутри класса птиц. Они слишком далеки, чтобы надеяться на успех.
У таких непохожих видов, как в вашем примере, отличается брачное поведение, строение половых органов, они вообще друг друга не должны интересовать в сексуальном плане. Ну хорошо, забудем об этих факторах, попробуем провести искусственное осеменение. Возникнут другие сложности, главная из которых - несовпадение хромосомных наборов. На этом этапе процесс должен остановиться (не успев начаться). Даже если число хромосом совпадает, некоторые из них  будут настолько отличаться по своим свойствам, что не смогут "узнать" друг друга и нормально образовывать пары во время деления. Хромосомные нарушения не позволяют эмбриону нормально расти, или ведут к тяжелейшим порокам развития, мертворождению. Но это больше касается скрещиваний внутри рода, то есть, потенциально возможных. Попугай и голубь - потенциально невозможная затея.