ЖКХ - долг 11-летней давности. Что в этом случае можно сделать по закону?

Здравствуйте! Это всего лишь угрозы. Нет закона, который позволяет за коммунальные долги отключать отопление и электроэнергию. Им нужно было ранее своевременно взыскивать эти суммы с предыдущего владельца. Сейчас вас просто берут на испуг. Я бы, на вашем месте, вообще не реагировал на подобные письма, даже если это долг по взносам на кап. ремонт. Дело в том, что имеются признаки истечения срока исковой давности. Пусть идут в суд, если считают, что их права нарушены. Это вам на пользу, так как в суде можно применить срок исковой давности, что будет являться основанием для отказа в иске. Опять же, если это долги по кап. ремонту. Если иные долги, то их вообще нельзя к вам отнести, так как вы не отвечаете по обязательствам бывших владельцев. Вам нужно внимательно следить за почтой по месту прописки, именно туда будут приходить документы из суда. Судебный приказ отменять, а исковое заявление оспаривать по вышеуказанным основаниям.

Новый собственник квартиры не отвечает по долгам предыдущего, поскольку обязанность по оплате жилого помещения и коммунальных услуг лежит на каждом собственнике (ст. 210 ГК РФ). Исключение составляют только взносы на капитальный ремонт, долги по которым переходят к новому собственнику.
Отключать Вам отопление и горячую воду они не имеют права.

во-первых, не имеют права, т.к. долги за ЖКХ на новых собственников не переходят.,

во-вторых, сроки взыскания ими уже просрочены.

как вариант, обратиться в жил инспекцию с жалобой, после подать иск в суд, либо дождаться ихнего обращения и активно возражать.