Математика для красноармейцев 9. Очерк математики квантовой механики.

План дальнейшего изложения состоит в том, что бы дойти до квантовой теории топологических фаз вещества. Можно сказать, что на сегодня это вершины теоретической физики (Нобелевская премия по физике 2016). Что касается топологических фаз, то не видел подробного, но популярного русскоязычного текста на эту тему.

Да и с непопулярным изложением плохо дело, статьи на русском языке короткие и для тех кто работает в этой области.

Сначала нужно немного рассказать про квантовую механику с формулами. Скучно, но без этого не смогу двигаться дальше.

Начнём с гильбертова пространства в котором живут квантовые системы. Это значительно проще, чем то, что мы рассматривали раньше.

Сначала определим (вспомним) что такое линейное пространство. Линейное пространство над полем K это множество, для элементов которого определено сложение, коммутативное, ассоциативное с нулем и обратным элементом -a: a+(-a)=0, а также умножение на элементы поля - ассоциативное и такое что умножение на единицу поля ничего не меняет: 1*a=a. Элементы линейного пространства называют векторами.

Знакомое всем со школы евклидово пространство это линейное пространство над полем действительных чисел (поле это название которое поэтичные математики придумали для множества со сложением, умножением, нулем, единицей и обратными элементами). Евклидовым это пространство если дополнительно ввести скалярное произведение его элементов.

Гильбертово пространство это линейное пространство над полем комплексных чисел со скалярным произведением его элементов.