Если взять интеграл от какой либо функции, по сути получится другая функция, которая описывает "площадь" под изначальной функцией?

Во-первых понятие "интеграл" имеет два значения: неопределенный и определенный.

Если мы говорим о неопределенном интеграле от функции f, то это семейство функций таких, что их производная равна функции f. Понятно что если мы возьмем какую-то функцию F из этого семейства, т.е. F'=f, то и все функции вида F+const -- тоже будут из этого семейства. Дальше есть некоторые тонкности (например в случае когда f определена на несвязном множестве), но мы их пока опустим.

Второе понятие -- определенны интеграл. Т.е. интеграл по некоторому множеству. Тогда мы получаем, конечно, не функцию, а число. Которое в случае знакопостоянной интегрируемой функции, и в случае когда это функция R->R (т.е. вещственно значная) по модулю равна площади под графиком функции.

Эти понятия связаны при помощи формулы Ньютона-Лейбница, которая утверждает что определенный интеграл -- суть разность значений на концах первообразной (неопределенного интеграла) причем неважно какого из представителей семейства выбирать.

Есть ещё отдельный сюжет: функция с переменным пределом интегрирования, т.е. F(t) = \int_a^t f(s) ds -- вот в случае, когда функция f(s) неотрицательна, тогда да. Функция F(t) может пониматься как функция площади.

Чтобы можно было дать более четкий и детальный ответ -- уточните вопрос :-)