Есть ли примеры чистой квадратичной зависимости в природе, когда одна величина равна квадрату второй?

Да есть. Целые значения степеней в формулах, в физике обычно имеют фундаментальный смысл, связанный с геометрией пространства-времени. Например в n-мерном Евклидовом пространстве площадь поверхности гиперсферы S радиусом R равна S = C(n)⋅n⋅Rⁿ⁻¹, где C(n) - постоянная, что для n = 3 даёт значение S = 4πR². Таким образом, все физические величины, связанные с потоком векторного поля через поверхность будут обратно пропорциональны квадрату радиуса (1/R)². Примерами являются напряжённость электрического поля, сила действующая между зарядами, напряжённость гравитационного поля в Ньютоновском формализме.

Аналогично ведёт себя геометрия однородной  изотропной Вселенной — метрика Фридмана — Робертсона — Уокера: ds² = dt² - a²(t)⋅(ds − k(xdx)²/(1-kx²)), где интервал (s) в теории гравитации — аналог расстояния между двумя событиями в пространстве-времени, являющийся обобщением евклидового расстояния между двумя точками.

Проблема квадрата скорости в формуле Эйнштейна E=mc², по-видимому так же связана с геометрией пространства-времени —  квадрат абсолютной величины 4-скорости (U) для любого объекта всегда является фиксированной постоянной: ||U||² = c².