КФМН (физика тведого тела), сейчас пенсионер-инженер.
Работал в ИФТТ, ЦКБ УП, ИФП (всё... · 23 окт 2022
ДИНАМИКА2. III ЗАКОН НЬЮТОНА. ИМПУЛЬС и ЭНЕРГИЯ.
Для начала вернёмся к II Закону Ньютона.
F=m*a= m*[V(t+dt) - V(t)]/dt= [m*V(t+dt) – m*V(t)]/dt]
Величину Р= m*V назовём ИМПУЛЬСОМ. Тогда II Закон Ньютона можно переписать F= [P(t+dt) – P(t)]/dt , т.е. сила есть скорость изменения импульса.
Теперь III ЗАКОН: Сила действия равна силе противодействия. Т.е. если тело 1 действует на тело 2 с силой F, то 2ое тело действует на 1ое с силой (- F) и действуют по одной линии.
Пусть есть два взаимодействующих тела тела. По III Закону скорость изменения импульса первого равна минус скорость изменения импульса второго:
dP(1)/dt= - dP(2)/dt или dP(1)/dt + dP(2)/dt =0 т. е.
СУММАРНЫЙ ИМПУЛЬС СОХРАНЯЕТСЯ.
Этот полезный и элегантный ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
применим и к неупругому столкновению шариков.
Два шарика (материальные точки) масса каждого m, первый катится с V=V1, второй стоит. После соударения слипаются. Трения нет. Найти скорость шариков V2 после соударения.
Пишем импульс системы. Начальный: V1*m+0*m
После столкновения: 2*m*V2. До и после импульсы равны: V1*m = 2*m*V2. Итого: V2=V1/2
Для тренировки перейдём в систему координат движущуюся со скоростью V1/2. В ней скорость 1го шарика ( V1)/2, второго (- V1)/2 , т.е. шарики катятся навстречу с равными скоростями. Пишем закон сохранения импульса: m*V1/2 - m*V1/2 =2*m*V2, i.e. V2=0 . Шарики слиплись и встали. Вернемся в исходную систему координат. К скорости шариков надо прибавить её относительную скорость, итого V2=V1/2 чтд.
А теперь исходная задачка, но столкновение упругое. Шарики одинаковые, скорости одинаковые “V1” и “-V1”. Из соображений симметрии ясно, что они должны стукнуться и разлететься, сохранив модуль скорости и поменяв её знак (а в квантовой механике могут пройти насквозь без разрушения и потери скорости). Однако сохранение импульса оставляет ещё один вариант - стукнулись и встали. Это неправильный ответ, но чтобы показать это надо знать
ЗАКОН СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ.
F=m*a= m*[V(t+dt) - V(t)]/dt= [m*V(t+dt) – m*V(t)]/dt]
Величину Р= m*V назовём ИМПУЛЬСОМ. Тогда II Закон Ньютона можно переписать F= [P(t+dt) – P(t)]/dt , т.е. сила есть скорость изменения импульса.
Теперь III ЗАКОН: Сила действия равна силе противодействия. Т.е. если тело 1 действует на тело 2 с силой F, то 2ое тело действует на 1ое с силой (- F) и действуют по одной линии.
Пусть есть два взаимодействующих тела тела. По III Закону скорость изменения импульса первого равна минус скорость изменения импульса второго:
dP(1)/dt= - dP(2)/dt или dP(1)/dt + dP(2)/dt =0 т. е.
СУММАРНЫЙ ИМПУЛЬС СОХРАНЯЕТСЯ.
Этот полезный и элегантный ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
применим и к неупругому столкновению шариков.
Два шарика (материальные точки) масса каждого m, первый катится с V=V1, второй стоит. После соударения слипаются. Трения нет. Найти скорость шариков V2 после соударения.
Пишем импульс системы. Начальный: V1*m+0*m
После столкновения: 2*m*V2. До и после импульсы равны: V1*m = 2*m*V2. Итого: V2=V1/2
Для тренировки перейдём в систему координат движущуюся со скоростью V1/2. В ней скорость 1го шарика ( V1)/2, второго (- V1)/2 , т.е. шарики катятся навстречу с равными скоростями. Пишем закон сохранения импульса: m*V1/2 - m*V1/2 =2*m*V2, i.e. V2=0 . Шарики слиплись и встали. Вернемся в исходную систему координат. К скорости шариков надо прибавить её относительную скорость, итого V2=V1/2 чтд.
А теперь исходная задачка, но столкновение упругое. Шарики одинаковые, скорости одинаковые “V1” и “-V1”. Из соображений симметрии ясно, что они должны стукнуться и разлететься, сохранив модуль скорости и поменяв её знак (а в квантовой механике могут пройти насквозь без разрушения и потери скорости). Однако сохранение импульса оставляет ещё один вариант - стукнулись и встали. Это неправильный ответ, но чтобы показать это надо знать
ЗАКОН СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ.
Для начала вспомним, почему мы стоим и не проваливаемся под пол. Сила тяжести есть (mg), результирующая ноль (раз уж стоим), значит есть сила равная и противонаправленная силе тяжести. Есть! По III Закону раз мы действуем на пол (mg), то со стороны пола на нас действует такая же сила (реакция опоры N, рис. внизу слева).
Теперь потянем тело вверх по наклонной плоскости.
Теперь потянем тело вверх по наклонной плоскости.
Координатные оси: ОХ вдоль плоскости (по направлению движения). Силу тяжести раскладываем на компоненты по осям, Fт (сила с которой тянем) – по ОХ, N – перпендикулярна наклонной плоскости. Чуть-чуть подтолкнули и тело очень-очень медленно поехало (трения нет). Значит все силы уравновешены, расписываем этот вывод по осям:
Fт = m*g*sinB
N= m*g*cosB
Без труда не вытянешь и рыбку; вводим понятие работы (A): dA=F*dS
Здесь F и dS – векторы (dS – по траектории, А – скалярное произве- дение), но для движения по прямой dA=F*dS*cos (угла сила/перемещение), т.е. работу мы совершаем, когда не просто действуем/прикладываем какую-то силу, но обязательно перемещаем тело по направлению этой силы (если вы поднимаете тело, вы работаете против силы тяжести; если тянете по земле – работа против силы тяжести не совершается (нет вертикального перемещения тела; ну а при подъёме по наклонной плоскости – против компоненты mgsinB ( если есть трение, ещё и против силы трения, а по OY перемещения нет). Разумеется, чтобы посчитать работу А надо dA просуммировать.
Возвращаемся к задаче. dA=Fт*ds . При суммировании учтём, что Fт постоянна и равна m*g*sinB, а сумма ds даст гипотенузу треуголь-ника. Итого: А = m*g*sinB *гипотенузу = m*g*sinB*(высота/sinB) =
=m*g*(высоту) = m*g*h .
А теперь представим, что мы не удержали тело на вершине и оно свалилось вниз. Какая у него будет скорость? Уже считали (кинематика), при падении с ускорением g c высоты h , тело приобретёт скорость V^2=2*g*h .
Итак, поднимая тело массы m на высоту h, мы совершили работу m*g*h против силы тяжести m*g , а уронив тело на исходную высоту обнаружили у него скорость V^2=2*g*h или (mV^2)/2=2*m*g*h
А теперь фокус. Что такое d(V^2)?
d(V^2) = (V+dV)^2 – V^2 = 2*V*dV +(dV)^2 = 2*V*dV (dV/V~0 )
Попробуем обобщить. Тянем/толкаем тело силой F по прямой. Никаких других сил нет. Считаем работу.
dA=F*dS = (m*a)*(V*dt) = m*(dV/dt)*(V*dt) = m*(V*dV) = (m/2)*d(V^2)= =d(m*V^2)/2
Величины (m*V^2)/2 называют кинетической энергией, а mgh потенциальной энергией силы тяжести. Видов энергии много. Важно, что они могут переходить друг в друга, а полная энергия замкнутой системы сохраняется. Это и называется ЗАКОНОМ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ.
(Теперь понятно, почему при упругом столкновении шарики не могли остановится. Кинетическую энергию сбросить некуда!)
Вмешавшись в жизнь системы, «разомкнув» её, мы можем увеличить энергию системы/тела за счёт проделанной работы. Например подняв тело над землёй или увеличив его скорость. Существенно, что тело может отдать приобретённую энергию и при этом само совершить работу.
Важно: Потенциальная энергия зависит только от координат (точнее взаимного расположения тел). Силы порождающие потенциальную энергию – консервативные силы. Это означает, что перемещение по замкнутому пути не меняет потенциальной энергии (подняли тело совершили работу, опустили получили точно такую же). Кинетическая энергия зависит только от скорости. В задачах механики существенно учитывать не абсолютную величину, а изменение энергии системы.
Важно: любая система стремится к таким изменениям, которые обеспечивают минимальную возможную энергию. Камни падают вниз; маятник болтается около нижнего положения; айсберг погружается, но вытесняет нужное количество воды; даже электроны садятся вокруг ядра атома так, чтобы энергия была минимальна. Посмотрим на примере правила рычага, как использовать это свойство.
Fт = m*g*sinB
N= m*g*cosB
Без труда не вытянешь и рыбку; вводим понятие работы (A): dA=F*dS
Здесь F и dS – векторы (dS – по траектории, А – скалярное произве- дение), но для движения по прямой dA=F*dS*cos (угла сила/перемещение), т.е. работу мы совершаем, когда не просто действуем/прикладываем какую-то силу, но обязательно перемещаем тело по направлению этой силы (если вы поднимаете тело, вы работаете против силы тяжести; если тянете по земле – работа против силы тяжести не совершается (нет вертикального перемещения тела; ну а при подъёме по наклонной плоскости – против компоненты mgsinB ( если есть трение, ещё и против силы трения, а по OY перемещения нет). Разумеется, чтобы посчитать работу А надо dA просуммировать.
Возвращаемся к задаче. dA=Fт*ds . При суммировании учтём, что Fт постоянна и равна m*g*sinB, а сумма ds даст гипотенузу треуголь-ника. Итого: А = m*g*sinB *гипотенузу = m*g*sinB*(высота/sinB) =
=m*g*(высоту) = m*g*h .
А теперь представим, что мы не удержали тело на вершине и оно свалилось вниз. Какая у него будет скорость? Уже считали (кинематика), при падении с ускорением g c высоты h , тело приобретёт скорость V^2=2*g*h .
Итак, поднимая тело массы m на высоту h, мы совершили работу m*g*h против силы тяжести m*g , а уронив тело на исходную высоту обнаружили у него скорость V^2=2*g*h или (mV^2)/2=2*m*g*h
А теперь фокус. Что такое d(V^2)?
d(V^2) = (V+dV)^2 – V^2 = 2*V*dV +(dV)^2 = 2*V*dV (dV/V~0 )
Попробуем обобщить. Тянем/толкаем тело силой F по прямой. Никаких других сил нет. Считаем работу.
dA=F*dS = (m*a)*(V*dt) = m*(dV/dt)*(V*dt) = m*(V*dV) = (m/2)*d(V^2)= =d(m*V^2)/2
Величины (m*V^2)/2 называют кинетической энергией, а mgh потенциальной энергией силы тяжести. Видов энергии много. Важно, что они могут переходить друг в друга, а полная энергия замкнутой системы сохраняется. Это и называется ЗАКОНОМ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ.
(Теперь понятно, почему при упругом столкновении шарики не могли остановится. Кинетическую энергию сбросить некуда!)
Вмешавшись в жизнь системы, «разомкнув» её, мы можем увеличить энергию системы/тела за счёт проделанной работы. Например подняв тело над землёй или увеличив его скорость. Существенно, что тело может отдать приобретённую энергию и при этом само совершить работу.
Важно: Потенциальная энергия зависит только от координат (точнее взаимного расположения тел). Силы порождающие потенциальную энергию – консервативные силы. Это означает, что перемещение по замкнутому пути не меняет потенциальной энергии (подняли тело совершили работу, опустили получили точно такую же). Кинетическая энергия зависит только от скорости. В задачах механики существенно учитывать не абсолютную величину, а изменение энергии системы.
Важно: любая система стремится к таким изменениям, которые обеспечивают минимальную возможную энергию. Камни падают вниз; маятник болтается около нижнего положения; айсберг погружается, но вытесняет нужное количество воды; даже электроны садятся вокруг ядра атома так, чтобы энергия была минимальна. Посмотрим на примере правила рычага, как использовать это свойство.
Рычаг (качели). Слева плечо l, груз М ; справа -m , L. Качели находятся в равновесии. Значит энергия у них минимально возможная; значит, если их чуть наклонить на угол dA, то изменение энергии будет равно нулю.
Вспоминаем геометрию и пишем изменение энергии при отклонении на очень маленький угол dA.
0= m*g*L*dh + M*g*l*dh = mgLdA - MgldA
m*L = M*l . Правило рычага получили. Неплохо?
Вспоминаем геометрию и пишем изменение энергии при отклонении на очень маленький угол dA.
0= m*g*L*dh + M*g*l*dh = mgLdA - MgldA
m*L = M*l . Правило рычага получили. Неплохо?
==============================================
Продолжение следует.
Предыдущие серии:
https://yandex.ru/q/article/reshenie_zadach_kinematika_d6ddeac6/
https://yandex.ru/q/science/12455383554/
https://yandex.ru/q/science/12468688642/
И, если можно, прочитав оставляйте метки - дизлайки, лайки, комментарии. Без обратной связи писать трудно и непонятно надо ли.
Продолжение следует.
Предыдущие серии:
https://yandex.ru/q/article/reshenie_zadach_kinematika_d6ddeac6/
https://yandex.ru/q/science/12455383554/
https://yandex.ru/q/science/12468688642/
И, если можно, прочитав оставляйте метки - дизлайки, лайки, комментарии. Без обратной связи писать трудно и непонятно надо ли.
Отлично! На мой взгляд III ЗАКОН НЬЮТОНА нужно добавить в предыдущий пост. Есть и минус- пост получится большой по... Читать дальше
@Lyudmila Timofeeva, спасибо. Размер имеет значение. Я этот укоротил. Хочу посмотреть хоть динамику просмотров. Замучился картинки для этого редактора рисовать.
ДИНАМИКА3. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ. ПОПУРРИ.