С точки зрения кватернионного описания пространства-времени интересно соотношение преобразования Лоренца и обратного к нему преобразования (тоже лоренцева). В первую очередь это касается образа и прообраза кватернионной единицы 1, т. е. 1A и 1A', где A' - обратное A преобразование. Поскольку кватернионы 1 и 1A порождают двумерную подалгебру, инвариантную для лоренцева преобразования A, то прообраз 1A' также принадлежит этой подалгебре (А-релятивной плоскости), изоморфной алгебре комплексных чисел.
В предыдущей заметке показано, что
1A = a + u = (1+ ib)/√(1– b²),
где a = Sc(1A), u = Ve(1A), i = u/|u|, b = |u|/a = v/c.
С помощью алгебры комплексных чисел и техники, изложенной в той же заметке, можно найти прообраз единицы:
1A' = a – u = (1– ib)/√(1– b²),
который оказывается сопряженным с 1A:
1A' = (1A)*.
Отсюда следует, что кватернионы 1A и 1A' имеют одинаковый модуль |1A|, причем равенства
(1A)(1A') = (1A)(1A)* = |1A|² = (1+ b²)/(1– b²)
позволяют выразить 1A' через кватернион, обратный 1A.
Кроме того, a = √(1+ |u|²) при любом нетривиальном лоренцевом преобразовании A. Очевидно, что все такие образы единицы в А-релятивной плоскости лежат на ветви гиперболы, проходящей через точку a = 1, u = 0 (единица времени исходной системы отсчета). Нетрудно проверить, что верно и обратное: для любого события p на данной гиперболе существует лоренцево преобразование A такое, что p = 1A, p* = 1A'.
В случае полного (четырехмерного) пространства-времени сделанные замечания сохраняются, причем указанная гипербола расширяется до трехмерного гиперболоида. Таким образом, хотя сопряженность событий не обязана сохраняться при произвольном лоренцевом преобразовании, она имеет значение для обратного преобразования.
Эти выводы справедливы в случае неколлинеарных кватернионов 1 и 1A, т. е. для собственно лоренцева преобразования A. Если же кватернионная единица остается неизменной, то A сводится к ортогональному преобразованию трехмерного подпространства векторных кватернионов, ортогонального к скалярной оси. Иначе говоря, такое преобразование (автоморфизм алгебры кватернионов Q) означает поворот неподвижной системы отсчета в трехмерном пространстве, не затрагивающий шкалу времени.
В обоих случаях фигурируют два инвариантных ортогональных подпространства: для собственно лоренцева преобразования A – А-релятивная плоскость и ортогональная к ней плоскость; во втором случае – скалярная ось Qs и подпространство векторных кватернионов Qv. В первом случае отметим, что плоскость, ортогональная к А-релятивной, лежит в Qv и ортогональна вектору u, т. е. траектории видимого в этом пространстве движения.
Возвращаясь к случаю неколлинеарных кватернионов 1 и 1A, замечаем, что в А-релятивной плоскости A преобразует базис {1A', 1} в {1, 1A}. Этот факт позволяет найти матрицу A:
строка 1: 0 –1
строка 2: 1 r,
где r = 2/√(1– b²). Для матрицы обратного преобразования A'
строка 1: r 1
строка 2: –1 0.
Определители обеих матриц равны 1, как и должно быть для эквиаффинных преобразований.
Поскольку A+A' = rI (I – единичная матрица), то в А-релятивной плоскости A' можно выразить через A с помощью линейных операций.
Любопытно, что матрицы A и A' существуют и при отсутствии движения (b = 0), когда А-релятивная плоскость не существует. Разумеется, физического смысла такие матрицы не имеют и корректное описание должно учитывать полную (четырехмерную) матрицу лоренцева преобразования.