Почему в теореме Больцано-Коши рассматривается именно замкнутый промежуток непрерывности?

Речь идёт о том, что для непрерывной функций f из f(a)f(b)<0 вытекает, что на отрезке [a,b] существует точка x такая что f(x)=0. Правильно ли я понимаю, что вопрос заключается в том, можно ли вместо отрезка рассмотреть интервал (a,b)? 

Я думаю, что трудность заключается в том, что в этом случае f(a) и f(b) не определены. Если функция равномерно непрерывна на (a,b), то в граничных точках ее можно доопределить по непрерывности - в этом случае мы получим исходное утверждение для отрезка.

Если при стремлении к граничным точкам функция стремится к минус и плюс бесконечности, то в силу непрерывности функции существует вложенный отрезкок, на котором функция будет ограничена и будет принимать на концах значения разных знаков. Следовательно, на интервале (a,b) будет по крайней мере один ноль функции. 

Если предела хотя бы в одной граничной точке нет, то, никакого вывода о существовании нуля функции на интервале сделать нельзя.

Если не требовать непрерывности на всём замкнутом промежутке, заключение теоремы Больцано–Коши перестаёт быть верным. 

Примеров можно привести много. Вот один:

f(x) = 1 при 0<х⩽1,

f(0) = -1.

Если рассматривается интервал, то его можно взять любой: отрытый, закрытый, с разными концами. В формулировке теоремы функция непрерывна на нём, есть две точки a и b  рассматриваемого интервала со значениями в них. Мы берём отрезок [a;b] и дальше бисектим его отрезками. Вид первоначального интервала ни на что не влияет.

При доказательстве этой теоремы используются вложенные друг в друга отрезки и то свойство, что они имеют хотя бы одну общую точку. Если вместо отрезков брать интервалы, то  общей точки для них может и не быть

Например система (0, 1/n) для всей бесконечной совокупности общей точки не имеет, т. к 0 не принадлежит ни одному интервалу