О чём теория групп "На пальцах"?
Когда-то недавно наткнулся на объяснения Монстра из Теории групп, также Савватеев объяснял,но я так и не понял что же такое теория групп на базовом уровне, где применяется и главное - как эту абстракцию представить. Т.е если про вращения более-менее понятно или симметрию,то про остальное вот никак
МатематикаВысшая математика+2
Преобразования симметрии это оно самое. Если на их примере удается понять что такое Группа, то этого достаточно для не математика.
Перейдем к "на пальцах".
Группа это множество любых объектов с введенной на нем бинарной операцией. Те надо уметь сопоставлять любым двоим какой то элемент того же множества. Не важно как. Есть еще допусловия на эту операцию (ассоциативность, существование обратного, ), но для "на пальцах" это не важно.
Это удивительно, но такая наипростейшая структура (множество и бинарная операция) дает не тривиальное поведение и имеет сильные свойства. А эту структуру имеют множество объектов:
- Числа
- Преобразования симметрии
- Перестановки
- Операторы
- ….
И т.д. и т.д.
В более общем виде просто ВСЯ Математика это изучение алгебраических структур на множествах. Можно было бы использовать эн-нарные операции. А унарные операции это все гомоморфизмы и прочее.
Можно смело сказать что это суть математики.
Кейс 1. Кубик Рубика.
Любое движение (повороты линий) которое вы можете с ним совершить это элемент множества.
Очевидно что два подряд совершенных движения это тоже некоторое движение. Возможно вы его не можете физически осуществить за один раз. Но такие результирующие движения (преобразования из двух и тд физических движений) тоже следует добавить в множество чтобы оно было группой.
Вот и все - Группа готова!
Элементарное следствие Высший алгебры для Кубика Рубика, неочевидное для не математика :
Придумайте любой некий набор поворотов. Один поворот или последовательность нескольких. Повторяйте этот набор много раз….. Вы всегда вернетесь в исходное положение. Какая бы ни была замысловатая комбинация.
….
Добрый вечер! Я опирался и "вкуривал Савватеева ,потом дошёл до операторов и таблицы операций для групп,далее было... Читать дальше
Если совсем на пальцах, теория групп изучает, что останется от обычной школьной алгебры, если из неё изъять операцию сложения и отменить коммутативность умножения. Идея та же самая, как и в разнообразных неевклидовых геометриях: убираем часть аксиом и смотрим, что из этого выйдет.
Обобщать элементарную алгебру можно разными способами в зависимости от того, какие аксиомы... Читать далее
Приветствую! Вы сейчас очевидно для себя ответили,но не очевидно для гуманитария 🤗 Смотрите - Мега и Гигапиксели... Читать дальше