Начнем с того, что отдельно гипотезу Пуанкаре не доказывали. Ее истинность следовала из решения одной задачи классификации, над которой работало много народа, а завершил решение Григорий Перельман.
Классификации очень важны, потому что приводят наши знания в систему, позволяют все расставить по полочкам.
Вот Менделеев сумел классифицировать все химические элементы -- расставил все по свом местам в таблице; это было серьезное продвижение в химии. У таблицы Менделеева нет непосредственного бытового применения, на хлеб ее не намажешь, ее значение научное, а не бытовое.
В математике тоже все расставляют по полочкам -- конические сечения, замощения плоскости правильными многоугольниками, виды треугольников, функций, уравнений, тел вращения и т.п. Классификации есть и в других науках.
Теперь ближе к гипотезе.
Давайте посмотрим на "хорошие" двумерные поверхности ("хорошие" -- это компактные ориентируемые без края). Чтобы не объяснять эти трудные слова, я просто нарисую, чего НЕ должно быть:
Оказывается, все хорошие поверхности можно классифицировать, любая из них эквилвалентна поверхности сферы, возможно, с несколькими ручками.
Вот для примера сфера с тремя ручками:
Все хорошие двумерные поверхности к чему-то такому приводятся, меняться может только число ручек. Этот результат известен с XIX века.
Аналог двумерных поверхностей -- трехмерные многообразия, их так просто уже не нарисуешь. Среди них есть и трехмерная сфера (это НЕ поверхность трехмерного шара); гипотеза Пуанкаре о том, как характеризовать трехмерную сферу. Уильям Тёрстон придумал способ классифицировать все трехмерные многообразия -- этот путь принято называть программой геометрзации Тёрстона. Над ней работало много математиков, и последний этап завершил Григорий Перельман.
Удалось расклассифицировать все хорошие тремерные многообразия. Гипотеза Пуанкаре как бы описывала одну ячейку этой классификации.
Как ни странно, многообразия более высоких размерностей были классифицированы еще раньше; так что математики как бы завершили создание "таблицы Менделеева" для хороших многообразий. В этой таблице нашлась клеточка и для 3-сферы, которую пытался характериовать Пуанкаре.
Одно из самых "понятных" (т.е. детям) объяснений гипотезы Пуанкаре, которое я где-то читал:
Предположим мы запускаем в открытый космос корабль, связанный с Землей бесконечно растяжимой резинкой. Космический корабль как угодно долго путешествует по вселенной и потом возвращается домой. Вопрос: резинка за что-нибудь зацепится? Пуанкаре предположил, что нет.
Григорий Перельман доказал таким образом, что деньги - не главное. Его отказ от нобелевки - это самая масштабная благотворительная акция для поклоняющегося золотому тельцу человечества. Очень многие после его отказа лишний раз задумались о ценности денег. А гипотеза Пуанкаре - так, прикрытие)
Не понятно, почему доказательство гипотезы Пуанкаре должно было что-то дать "человечеству"? Математика "человечеству" ничего не должна, "человечество" для математики не представляет особого интереса. Точнее, никакого.
А как же ТерВер?
Сделан ещё один шажок к пониманию сути мира в котором мы живём. Мы на первой ступеньке (выход в космос) его изучения. Эта лестница бесконечна если опять не прервёт ядерная война, оледенение и всё будет начинаться снова. Конечно нужны споры о веществе - пространстве-времени в них рождалась и рождается истина. Но вы всё о материальном. А сон материален?
Ядерной войны никогда не было иначе как фантазиях.
А если гипотетический бублик очень долго скручивать вдоль одной и той же оси. Супервитки в конце концов образуют визуально сферу. Расстоянием между супервитками в конце концов можно будет пренебречь, и получится местами локально неоднородная, но термодинамически вполне скомпенсированная материальная сфера. Хотя наверно есть варианты.
Минусовые никогда не крутили бублики. Это прискорбно рребята..🤣