Мммм.... это будет посложнее, чем окрестность точки, но я все-таки попробую. Оператор Лапласа - это последовательное применение к функции нескольких переменных операторов градиента и дивергенции. Или, что то же самое, сумма вторых производных этой функции по всем координатам. Объяснить, что это значит в общем случае, я не берусь, но приведу конкретный пример.
Предположим, у нас есть нагретое тело и нам надо определить, как оно будет менять свою температуру (остывать) со временем. То есть, найти dT/dt ("скорость остывания") для этого тела (для каждой его точки с координатами (x, y, z)), где Т - температура, t - время. Тогда в соответствии с уравнением теплопроводности, если нет источников тепла, то dT/dt = C*A(T) (ссылка на википедию, где эти уравнения даны в нормальном виде: wikipedia.org ), где С - это некий коэффициент температуропроводности, а А - это как раз оператор Лапласа, примененный к температуре, как функции трех пространственных координат, т.е. сумма вторых производных температуры по x, y, z.
Очевидный вопрос - почему это так? Почему сумма вторых производных температуры по пространственным координатам дает нам скорость остывания? Тут вот нужно как раз понять, что это такое, сумма вторых производных, вернувшись к началу моего ответа. Получается эта штука таким образом: мы берем температуру тела как функцию от пространственных координат Т(x, y, z). То есть температуру тела в момент времени 0 в каждой его точке. Далее мы прикладываем оператор градиента к этой функции. А что такое градиент функции? Это вектор из частных производных первого порядка этой функции по всем координатам. Но в чем его смысл в данном случае? Что показывают первые производные по координатам? Они показывают, насколько в данной точке температура отличается от "соседней" точки. То есть в данном случае градиент фактически показывает, из какой точки "быстрее потечет" температура. Там где градиент большой, там остывать будет сильнее, а где маленький - медленнее. Теперь мы прикладываем к полученному полю векторов первых производных температуры (у нас же много точек, значит будет не один вектор, а векторное поле) оператор дивергенции. А он что делает? Он берет еще одну производную по всем координатам, но переводит вектор обратно в скаляр путем суммирования всех полученных производных. Которые уже будут вторыми, поскольку после градиента получились первые производные. Вот и получилась сумма вторых производных. Но что значит применение оператора дивергенции к градиенту? Мы уже поняли, что векторное поле градиентов показывает нам, где будет остывать быстрее, а где медленнее. Так вот сумма первых производных координат вектора градиента (то есть вторых производных температуры) дает нам фактически "плотность стоков температуры" в объеме. Как бы "скорость появления следующего градиента" в объеме, но поскольку координаты у нас пространственные, а не временные, то не скорость, а скорее плотность. То есть большая дивергенция в большом количестве точек будет означать, что "плотность градиентов" высокая, они понатыканы часто, а малая/нулевая дивергенция в большом количестве точек - низкая/нулевая "плотность градиентов", то есть температура не "течет" отсюда.
Нужно помнить, что как и градиент функции, так и дивергенция функции - это не число, а функция, то есть это не некое среднее, удельное "количество стоков" в теле, как некоторый параметр вроде плотности вещества, а "плотность" в данной точке (x, y, z), как функция этих самых (x, y, z), то есть она будет разной в каждой точке.
То есть, взяв оператор Лапласа для температуры мы сначала (упрощая! это очень неточно и условно!) определили насколько быстро будет остывать тело в каждой своей точке, нашли "стоки температуры", откуда она "потечет" быстро, а потом определили "плотность стоков температуры", то есть определили насколько часто понатыканы эти стоки температуры. Интуйтивно ясно, что определив это мы можем узнать скорость остывания тела, то есть как раз пришли к исходному уравнению теплопередачи.
Вот как-то так. Это частный пример для теплопроводности, аналогичные можно привести из электродинамики или физики сплошных сред, но они будут интуйтивно еще менее понятны. В общем же случае оператор Лапласа - это достаточно абстрактный математический инструмент, который не имеет интуйтивно ясного смысла.
Для меня применение оператора Лапласа имеет практический смысл при определении силы гравитационного взаимодействия тел сложной формы ,что имеет значение при использовании альтернативных схем измерения.
Почитайте фейнмановские лекции, там об этом написано. Если охота будет, можно здесь написать что вы поняли и с большим количеством примеров, чтобы это было понятно всем (кто поймет о чем речь).