Комплексными числами удобно описывать разного рода колебательные процессы, поэтому они применяются в ТОЭ, магнитодинамике, некоторых разделах экономики и т.д. Почему? Потому что это как бы пара действительных чисел и один из вариантов двумерной алгебры над R. Гуглить экспоненциальную и тригонометрическую формы комплексных чисел. Экспоненциальную форму просто дифференцировать и интегрировать, и отсюда удобство составления дифференциальных и интегральных уравнений. С тригонометрической формой тоже всё понятно: синусами и косинусами описываются соответствующие колебательные процессы.
Кроме того, комплексными удобнее описывать композиции поворотов — гораздо удобнее, чем , чем углами Эйлера (гуглится).
Кватернионы — это уже четырехмерная алгебра и здесь все то же самое, только для мерности 3: все те же самые процессы, только трехмерные. Плюс, 3D графика.
Зачем все это вообще плюс седенионы, см. лекционный курс Коль Фуре:
Если коротко, в квантовой физике и в ОТО тоже, как выяснилось, многие процессы удобно описать комплексными числами.
Совсем популярно см. у Забине Хоссенфельдер:
И у неё же этот плейлист целиком:
А, ну ещё комплексными числами описываются конформные отображения, которые тоже много где используются. В частности, в геодезии, картографии и биометрии.
Можно ли обойтись совсем без комплексных чисел? Конечно, можно. Просто, будет сложнее.