Поле комплексных чисел -- абстрактный объект, ему не присущ изначально физический смысл.
Чтобы разобраться, давайте сравним комплексные числа и действительные.
Действительные числа создавались не вдруг, а на протяжении долгого времени. Создавались они для описания физических объектов, для фиксации результатов измерений. Например, с помощью действительных чисел можно выражать длины или площади. Поэтому нам кажется, что у действительных чисел есть физический смысл. Математики постепенно дорабатывали эти числа, изучали их свойства, выделяли самые существенные, задавали аксиоматику: так со временем создали абстрактный объект под названием "поле действительных чисел". Это уже чисто математический объект, эти числа в математике не имеют физического смысла. Зато их стало можно применять для описания совсем абстрактных вещей, которые физически мы не измеряем. Например, вероятностей событий.
Комплексные числа создавали, работая не с физическими величинами, а с алгебраическими уравнениями -- целыми уравнениями второй и третьей степени, потом и выше. Поэтому комплексные числа изначально не были связаны с физическими объектами. Но у комплексных чисел оказалось много приятных свойств, их удобно применять в некоторых моделях для работы с физическими объектами.
Одно из самых первых применений -- преобразование Фурье. Фурье придумал раскладывать функцию в сумму бесконечного тригонометрического ряда для решения уравнения теплопроводности. Это дифференциальное уравнение, оно позволяет найти температуру физического тела в любой точке в зависимости от времени.
(Есть легенда, что во времена египетского похода Наполеона Фурье решал эту задачу с практической целью. Надо было найти глубину винного погреба в Египте, на которой поддерживается та же температура, как в обычных погребах Франции.)
Если мы копнем чуть глубже, то попадем на широчайшее поле для дебатов. Есть такая точка зрения, что мы вообще не можем воспринимать физическое непосредственно, а только через модели, пусть даже и неосознаваемые модели, созданные нашим мозгом. В такой парадигме чисто физического смысла не бывает, только модели придают физическому смысл. Есть и другие подходы, но в рамках я.q вопрос о смысле не решить :)
В электротехнике мнимая часть числа соответствует реактивному току. Также мнимая часть числа позволяет работать со сосредоточенными нагрузками типа реактивность (емкость или индуктивность) плюс сопротивление. Импеданс антенны в общем случае хорошо отображается комплексным числом. Очень удобно при всяческих радиочастотных расчетах.
Именно, физический смысл комплексных чисел в описании мира электрических процессов.
Лучше чем Саватеев рассказал о комплексных сложно рассказать.
Главный смысл их необходимости - поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, а поле вещественных нет. Что это значит смотри в ролике ;)