Представьте такую игру. В ней участвуют три игрока, назовём их условно игроки a, b, c. Они играют в игру следующим образом. В каждой ировой партии играет только два игрока и каждый игровой турнир (последовательность партий) начинается с игровой партии игроков a и b. Победитель турнира (всей игры) определится тогда, когда он (один из игроков: a, b, c) выиграет две партии подряд. Если в первой партии один из игроков (a либо b) проиграет, то победитель партии будет играть с игроком c, а проигравший игрок уходит в аут и ждёт своей следующей игры с победителем партии, которая разыгрывается между игроком c и первым победителем первой партии. Ничью в рассмотрении исключаем. Таким образом турнир продолжается до тех пор пока два раза подряд один из игроков не победит. Схема этой игры приведена на рисунке 1 ниже.
Сначала играют игроки a и b, потом в зависимости от исхода игры, победитель играет с игроком c. На рисунке победитель обозначен буквой возле стрелки, в нижнем индексе которой записан игрок, проигравший в данной партии. Далее в тексте обозначение победителя и проигравшего будем обозначать как a(b) (в силу особенностей редактора), где буквой без скобок обозначен победитель, а в скобках — проигравший. Сами турниры, которые будут являться возможными исходами (т. е. элементарными событиями) нашей игры, будем обозначать последовательностями букв, обозначающими наших игроков. Каждая из букв в такой последовательности будет обозначать игрока, победившего в некоторой n-ой партии. Тогда наше пространство элементарных событий будет иметь вид: aa, bb, acc, bcc, acbb, bcaa, acbaa, bcabb, acbacb...aa, acbacb...acc, acbacb...acbb, bcabca...bb, bcabca...bcc, bcabca...bcaa, acbacb...acb..., bcabca...bca.... Две последнии последовательности соответствуют тем случаям, когда победитель никогда неопределится и турни будет идти до бесконечности (будет содержать бесконечное число партий).
Препишем каждому нашему такому событию вероятность:
где n — это количество букв (количество партий) в последовательности (в турнире). Например, вероятность события aa и bb будет равна 1/4. Поэтому вероятности бесконечных турниров будут равны нулю (в пределе).
Первый вопрос: покажем, что сумма вероятностей всех наших турниров равна 1, т. е. заданная нами вероятность элементарного события соответствует аксиоматике теории вероятностей. Для этого нам нужно найти сумму ряда:
Но эта сумма не равна 1. Это связано с тем, что суммирование мы начинаем с i = 2, поскольку минимальное количество букв в наших последовательностях равно именно 2 (в силу устройтсва игры). Также заметим, что в нашем пространстве турниров (пространство элементарных событий игры) последовательности с одинаковым количеством букв встречаются парами (aa, bb, acc, bcc, acbb, bcaa, ...). Поэтому находя выше приведённую сумму, мы находим вероятность события, что какой-либо турнир начнётся с победы a. А т. к. при первой партии возможна победа a либо b, то событие заключающееся в том, что какой-либо турнир начнётся с не победы a равносильна тому, что победа в партии уйдёт к b. И вероятность этого события равна вероятности первого события (когда победит a) и их сумма даст в итоге 1:
Найдём теперь вероятность того события, что победителем будет:
игрок a;
игрок b;
игрок c.
Начнём с вероятности a. Пойдём по тому пути, когда первым выиграет a. Давайте поймем, что a будет выигрывать в каждом турнире после aa через каждые три буквы (партии). Согласно схеме (рисунок 1) после того как выиграл a(b), игрок a будет играть с игроком c. Если a его победит (a(c)), то а выиграл турнир (событие aa). Если он проиграл (игрок a), то c(a) и он будет играть с b. Не рассматривая пока побед c и b, мы будем продолжать наш турнир пока снова не наступит черёд a. По схеме игрок a сможет снова играть после трёх партий (т. е. на каждой третьей партии): ab(c) → a(b), ac(b) → c(a), cb(a) → b(c), ab(c) → .... (Пояснение: запись (до стрелки) ab(c) означает, что в данной партии играет a и b, а игрок c в ауте. Запись помле стрелки показывает победителя и проигравшего; после запятой идёт новая партия.)Т. о., рассмотрев путь, когда первым выигрывает a, мы получаем, что игрок a сможет выиграть в очередном турнире тогда, когда после предыдущей партии с a пройдёт ровно три другие партии без победителей турнира (т. е. без абсолютных, турнирных побед игроков b и c). И первое слагаемое полной вероятности для победы a имеет вид:
По поводу слагаемого. Степень у двойки устроена так, чтобы её значения менялись с шагом 3.
Теперь посмотрим на тот путь, когда победа в первой партии начинатеся с b. С тем же условием, с каким мы рассматривали путь a, покажем, что турнирные победы a могут быть возможными через каждые три партии: ab(c) → b(a), bc(a) → c(b), ca(b) → a(c), ab(c) → .... Т. о., второе и последнее слагаемое для вероятности победы a примет вид:
Складывая эти слагаемые получаем ответ:
Вольфрам альфа и маткад подтверждают:
Перейдём к вероятности победы b. Вообще, не трудно заметить, что вероятность для b будет той же, что и для a. Рассуждения будут инвариантны с точностью до замены букв местами: a на b и b на a.
Но вероятность победы c будет иной. Снова покажем, что c будет играть в партии через каждые три: ab(c) → a(b), ac(b) → c(a), cb(a) → b(c), ba(c) → a(b), ac(b) → ... и ab(c) → b(a), bc(a) → c(b), ca(b) → a(c), ab(c) → b(a), bc(a) → .... Т. о., игрок c будет играть через каждые три парти в случае, когда первым побеждает a либо b. Поэтому и в том и в другом случае вероятность победить c одинакова, но тогда его полная веротность будет равна:
Вольфрам альфа и маткад подтверждают:
Теперь вопросы знатокам:
Показать, что вероятность того, что победитель не определится до k-ой партии включительно равна 1/(2^(k-1)).
Рассмотреть эту игру, но уже с возможностью ничьей (при ничьей турнир завершается). Как ввести вероятность в таком случае? Найти в этом случае вероятности побед игроков a, b, c.
Показать, что вероятность того, что победитель не определится до k-ой партии включительно равна 1/(2^(k-1)).
Элементарно доказывается (да и выводится) с помощью индукции. На 2-м шаге проверяем: 1/2, все правильно. Для любого k вероятность того, что матч не закончится на k + 1 шаге есть P(k+1) = P(k)*1/2 (проиграет победитель шага k). Вот и все.
Рассмотреть эту игру, но уже с возможностью ничьей. Как ввести вероятность в таком случае? Найти в этом случае вероятности побед игроков a, b, c.
Условия некорректны. Что происходит в случае ничьей? Переигровка? Если да, то вероятности не меняются. Если нет, то кто и на каких условиях выбывает?
путаница будет продолжаться очень долгое время." все из-за того, что Левий Матвей неверно записывает за мной. "Но я однажды заглянул в его пергамент с этими записями и ужаснулся.
