Проведём замену переменных: p= Exp(i z). Тогда выражение (1) принимает вид:p-1/p=4i.
Домножим полученное выражение на p:p^2-4i p-1=0. (2)
Решаем квадратное уравнение (2) и получаем два корня:p1 = i (2+ Sqrt(3) )p2 = i (2- Sqrt(3) )
Проведём обратную замену для корня p1:Exp(i z)=i (2+ Sqrt(3) ).Если обозначить через x и y вещественную и мнимую части числа z, то по формуле Эйлера получаем:Exp(x) ( Cos(y) + i Sin(y) )=i (2+ Sqrt(3) ). (3)Разделим вещественную и мнимую часть уравнения (3):Exp(x) Cos(y) = 0, (4)Exp(x) Sin(y) = 2 + Sqrt(3). (5)Посмотрим на выражение (4). Экспонента нулём быть не может, поэтому Cos(y) = 0, следовательно Sin(y) = 1 или Sin(y) = -1. Но в последнем случае в выражении (5) слева стоит отрицательное число, а справа - положительное.Таким образом, Sin(y) = 1 или y = pi/2 + 2pi n (где n - целое число).Следовательно, из (5) имеем:y = Ln (2 + Sqrt(3))В итоге получаем семейство корней: z=pi/2 + 2pi n + i Ln (2 + Sqrt(3)).
Проведя аналогичные рассуждения для корня p2 получаем ещё одно семейство корней: z=pi/2 + 2pi n + i Ln (2 - Sqrt(3)).