Решение систем линейных уравнений высших порядков - это и есть линейная алгебра, которая преподается в ВУЗе?

Не только . Например, Нормальная Жорданова Форма

Нормальная (жорданова) форма матриц. С каждой квадратной матрицей связан целый класс матриц, подобных матрице А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н.(ж.)ф.м.» связан с именем К. Жордана]. На схеме показана жорданова форма некоторой матрицы 8-го порядка:

Вдоль главной диагонали расположены специальные квадратные клетки (на схеме они обведены пунктиром). Все элементы матрицы, расположенные вне этих клеток, равны нулю. В каждой диагональной клетке вдоль главной диагонали повторяется одно и то же (комплексное) число (в первой клетке l1, во второй l2 и т.д.); параллельный ряд над главной диагональю состоит из единиц. Все же остальные элементы в диагональных клетках равны нулю. На приведённой схеме имеются три диагональные клетки, из которых первая имеет порядок 4, вторая и третья — порядок 2. В общем же случае число клеток и порядки их могут быть любыми. Среди чисел l1, l2,... возможны и равные. Исходная матрица А в указанном примере имеет следующие элементарные делители: (l — l1)^4, (l — l2)^2, (l — l3)^2. По элементарным делителям матрицы однозначно определяется её жорданова форма.

Если матрица А имеет жорданову форму I, то существует неособенная матрица Т такая, что А = TIT-1. Замену матрицы А подобной ей матрицей I называют приведением матрицы А к нормальной жордановой форме.

Представление о применениях жордановой формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

Детально см. https://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/082/595.htm

Классический учебник для МехМатов

Еще есть старая и забытая книга - Глазман,Любич Конечно-мерный Линейный Анализ.

Нас учили линейной алгебре как введению в Функциональной Анализ ( но это было при социализме )