Если эволюция некоторого процесса (например, динамика популяций животных) или движение некоторого объекта (например, математического маятника) описывается системой обыкновенных линейных автономных дифференциальных уравнений, то для описания динамики этого процесса нужно найти корни характеристического многочлена. Расположение корней этого многочлена качественно определяет динамику процесса: возможны ли колебания, будет ли решение ограниченным и т.д. Количество корней определяет количество степеней свободы системы. Из основной теоремы алгебры вытекает, что для системы порядка N будет ровно N корней характеристического многочлена. То есть принципиальный вопрос о том, сколько корней нужно искать, решён. Найти их - это уже другой вопрос, который можно оставить компьютеру.
Такого рода системы - одни из простейших. Анализ более сложных систем во многом основывается на изучении линейных автономных систем. Если представить себе мир, в котором основная теорема алгебры неверна, то это бы выбило бы краеугольный камень из теории динамических систем.