Разобрать, почистить от грязи и, в лучшем случае. В худшем случае замена стика. Больше вариантов не видя геймпада предложить не могу к сожалению
Попробуйте легонько потянуть стик в обратную сторону. В смысле пальцами вытянуть его наверх. Только что таким образом случайно его починила, залипающая часть встала на место с характерным щелчком, только несильно, не ломайте и так беднягу хд
Есть конечно ещё 1 вариант. подключить геймпад к компуктеру и стандартными средствами винды отколебровать его, там будет видно, есть ли действительное залипание стика, а так в целом если вы уверены в том, что проблема механического характера, то действительно первый и самый очевидный способ - это разобрать и в таком состоянии его протестировать, может действительно проблема в пыли