Что будет, если оставить экран на телефоне включённым и не выключать его примерно месяц?

Коротко: ничего смертельного.

Детали: степень вреда, нанесённого экрану, зависит от типа этого экрана. Например, LCD (IPS и аналоги) фактически не почувствует никакого износа. А вот OLED пострадает, но работать продолжит.

Развёрнуто: в месяце от 672 до 744 часов. Возьмём за основу 28 дней и 672 часа активного экранного времени. В жидкокристаллическом (IPS) дисплее изнашивающийся компонент - это белые светодиоды подсветки, их ресурс примерно равен 20 тысяч часов, или больше (хорошая силовая обвязка подсветки и светодиоды могут работать и 100 тысяч часов). Тут главным фактором износа будет выступать нагрев устройства. Если при работе подсветка выставлена на максимум, светодиоды питаются повышенным током, выделяют много тепла, соответственно и деградация полупроводника будет выражена сильнее. Для вас результатом будет понижение яркости подсветки. Вывод: на низкой или средней яркости LCD дисплей будет работать без заметного износа десятки тысяч часов.

Что касается OLED (AMOLED, pOLED, и аналоги), то тут всё очень запутано: этот тип матрицы изначально имеет кратно ме́ньший ресурс как в целом, так и по отдельным характеристикам. Например, здесь степень износа будет зависеть не только от того, какую яркость вы выставите перед тем как оставить смартфон с работающим дисплеем на месяц. Скорее всего решающее значение будет иметь то, что этот дисплей будет показывать в течении месяца. Если на дисплее будет отображаться одна картинка, то скорее всего получите её отчётливый "отпечаток" везде и всюду. Это называют эффектом "выгорания". Если же включите Youtube который сам будет крутить разные ролики в полноэкранном режиме без остановки, то худшее что произойдет - экран станет уходить в красные / зелёные оттенки. Связано это с тем что в OLED дисплеях за формирование картинки отвечают миллионы пикселей, каждый из которых состоит из красного, зелёного и синего субпикселя. Субпиксель, это своего рода самостоятельный фонарик, у него есть ресурс. Самый низкий ресурс у синего субпикселя, что-то в районе 4-5 тысяч часов. Считайте что за месяц вы потратите четверть его ресурса, это уже снижение его яркости. Результат - ухудшение цветопередачи, но экран будет работать.