Появление новых обозначений обычно обусловлено возникновением массового спроса на их использование, т.е. когда текущая запись достаточно громоздка, и ее необходимо воспроизводить снова и снова с какой-то регулярностью.
--
Если посмотреть исторически, то большинство известных нам обозначений были введены в обиход эволюционным путем - по мере назревания потребностей.
Допустим, обозначения "*" и "/" хорошо знакомых операций "умножение" и "деление" появились для более компактной свертки многократного "сложения" и "вычитания".
Следующим логичным шагом можно считать "возведение в степень" ("^") - уже для компактной свертки многократного "умножения".
--
В булевой алгебре вполне можно обойтись 3 базовыми операциями ("конъюнкция", "дизъюнкция", "отрицание"). Но исследователи довольно скоро обратили внимание, что в формулах часто присутствовали те или иные их повторяющиеся комбинации. Так арсенал пополнился часто используемыми составными операциями ("эквивалентность","неэквивалентность", "исключающее или", "импликация", "штрих Шеффера", "стрелка Пирса" ...)
Каждая из них удостоилась своего знака.
В итоге, человеку стало проще работать с гораздо более сложными выражениями.
--
В линейной алгебре появилась сущность "матрица", а затем и "определитель матрицы". Благодаря наличию таких понятий и их обозначений, можно довольно легко решать СЛАУ методом Крамера. Если бы их не было - можно было бы свихнуться, каждый раз скрупулезно выписывая все части каждого выражения.
--
Это что касается общепризнанных обозначений, которые стало использовать все сообщество. Но, в принципе, любой автор в своей работе, научной статье, в черновиках, или даже в блоге может вводить любые обозначения, какие сочтет нужным, предварительно оговорив для читателей их смысл и область применения.
--
Обычно авторы стараются не замахиваться на введение новых знаков операций. Для компактной свертки сложных преобразований используют нотацию функций: пусть F(x) - это такое-то преобразование, а G(x) - сякое. Использование подобных абстракций предохраняет математический аппарат от неограниченного разрастания.
--
Но локально можно использовать и собственноручно введенные знаки, если действительно возникает подобная необходимость.
Не так давно я и сам прибег к этому:
Есть функция "факториал", обозначается n! (произведение натуральных чисел 1*2*3*...*n).
Есть функция "праймориал", обозначается n# (произведение простых чисел 2*3*5*7*11*...*p, где p≤n - ближайшее снизу к "n" простое число).
--
А есть экзотическая функция "
композиториал" (произведение составных чисел 4*6*8*9*...*c, где c≤n - ближайшее снизу к "n" составное число).
Во всех найденных источниках она обозначалась как дробь n! / n#
Вроде бы не очень громоздко, но мне крайне желательно было использовать какой-либо одиночный спецсимвол для нее.
В итоге, выбрал обозначение n@ - на клавиатуре данный спецсимвол расположен аккурат между "!" и "#" - что полностью соответствует смыслу данной функции.
--
И вот что у меня получилось (это моя страничка с Простыми числами Софи Жермен, одна из форм которых как раз использует композиториал):
Не факт, что это обозначение приживется, и его использует кто-то еще, но в моем проекте оно обеспечивает существенную компактность записи.