Как называется обучение в котором «на входе» и «на выходе» есть тестирование?

Очень необычный вопрос… Образованием, в котором и в начале, и в конце установлено именно тестирование как форма проверки знаний, может быть абсолютно любым и, соответственно, носить любое наименование.

Так, например, при поступлении в школу некоторые учебные заведения проводят психологическое тестирование (готов ли ребенок к поступлению), после окончания школы выпускники сдают экзамены (часть которых так же может быть в форме тестирования). Затем для поступления в вуз так же сдаются экзамены — вступительные, а по окончании — госэкзамены.

Когда вы идете на коммерческие курсы, для определения вашего уровня подготовки вас могут попросить пройти тестирование, по окончанию курса вы также, вероятно, будете проходить итоговую аттестацию в любой установленной форме (в т.ч. в виде теста), чтобы получить итоговый сертификат или иной документ.

Конечно, форма итоговой аттестации может быть совершенно иной — совсем не обязательно, чтобы это было именно тестирование. К тому же для целей полноценной и всесторонней проверки знаний ограничиваться только тестированием не стоит: так остается большое пространство для маневра без подготовки и «слива» верных ответов.

Описываемая вами форма наиболее часто используется в онлайн-обучении, когда курс разбивается на модули (блоки), а по прохождении каждого вы проходите тестирование по пройденному материалу. Без сдачи такого теста к следующему модулю перейти, как правило, вы не можете — или за вами будет висеть долг (могут быть вариации).

Возможно, что вы имели в виду какую-то другую ситуацию или сами учреждения дают такой форме образования какое-то название? 

Среднее специальное и высшее образование. При поступлении в учебное заведение и для его успешного окончания требуется сдавать экзамены. Вот только в начальную школу берут всех без разбора.