Содержание верного ответа
(допускаются иные формулировки ответа, не искажающие его смысла)
Задание 1.
- Петя может выиграть единственным способом (увеличив количество камней во второй куче в два раза), если
. При меньших значениях
за один ход нельзя получить
или более камней в двух кучах. При
у Пети есть более одного выигрывающего хода (можно удвоить количество камней в любой куче). - Минимальное значение
. Петя может получить позицию
, в которой Ваня может выиграть ходом
. При меньших значениях
ни при каком ходе Пети Ваня не сможет выиграть первым ходом.
Задание 2.
Возможные значения
:
,
. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако при
Петя может получить позицию
, а при
позицию
. В первом случае после хода Вани возникнет одна из позиций
,
,
,
, во втором случае – одна из позиций
,
,
,
. В любой из перечисленных позиций Петя может выиграть, удвоив количество камней в большей куче. Задание 3.
Возможное значение
:
. После первого хода Пети возможны позиции
,
,
,
. В позициях
и
Ваня может выиграть первым ходом, удвоив количество камней в любой куче. Из позиций
и
Ваня может получить позицию
, разобранную в задании
. Игрок, после хода которого возникла эта позиция (в данном случае – Ваня), выигрывает следующим ходом. В таблице изображены возможные партии при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) выделены жирным шрифтом.
![](https://avatars.mds.yandex.net/get-tutor/1677215/f16ed69f3ff0bec31ea205b9dbc9cf9a/orig)
На рисунке эти же партии показаны в виде графа (оба способа изображения допустимы).
![](https://avatars.mds.yandex.net/get-tutor/1666524/c508c7f3f550dbe8e49cd86f4a5e1836/orig)
Рис.
. Граф всех партий, возможных при описанной стратегии Вани. Ходы Пети показаны сплошными стрелками, ходы Вани показаны пунктирными стрелками. Заключительные позиции обозначены прямоугольниками.
Примечание для эксперта. Дерево всех партий может быть изображено в виде таблицы или в виде ориентированного графа – так, как показано на рисунке, или другим способом. Например, вместо приведённого здесь «экономного» варианта, в котором позиции не дублируются, возможно построение полного дерева, в котором одинаковые позиции, возникающие при различном ходе игры, показаны отдельно. Важно, чтобы множество полных путей в графе находилось во взаимно однозначном соответствии с множеством партий, возможных при описанной в решении стратегии.
Указания по оцениванию | Баллы |
В задаче от ученика требуется выполнить три задания. Количество баллов в целом соответствует количеству выполненных заданий (подробнее см. ниже).
Ошибка в решении, не искажающая основного замысла и не приведшая к неверному ответу, например, арифметическая ошибка при вычислении количества камней в заключительной позиции, при оценке решения не учитывается.
Задание выполнено, если выполнены оба пункта: для пункта А перечислены все удовлетворяющие условию значения (и только они), для пункта Б указано верное значение (и только оно). Обоснование найденных значений не обязательно.
Задание выполнено, если верно указана выигрышная для Пети позиция (любая из двух возможных) и описана соответствующая стратегия.
Задание выполнено, если правильно указана выигрышная для Вани позиция и построено дерево всех возможных при выигрышной стратегии партий (и только их).
Во всех случаях стратегии могут быть описаны так, как это сделано в примере решения, или другим способом | |
Выполнены все три задания | ![](https://yastatic.net/s3/edu/tex/eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.svg) |
Не выполнены условия, позволяющие поставить балла, и выполнено хотя бы одно из следующих условий.
– Выполнено задание .
– Выполнены задания и ![](https://yastatic.net/s3/edu/tex/c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.svg) | ![](https://yastatic.net/s3/edu/tex/c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.svg) |
Не выполнены условия, позволяющие поставить или балла, и выполнено хотя бы одно из заданий и ![](https://yastatic.net/s3/edu/tex/c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.svg) | ![](https://yastatic.net/s3/edu/tex/c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.svg) |
Не выполнено ни одно из условий, позволяющих поставить , или балла | ![](https://yastatic.net/s3/edu/tex/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.svg) |
Максимальный балл | ![](https://yastatic.net/s3/edu/tex/eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.svg) |