Бесконечная арифметическая прогрессия a_1 , a_2 , ... , a_n , ... состоит из различных натуральных чисел. Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a_1 , a_2 , ... , a_7 ровно три числа... | Яндекс.Репетитор | ЕГЭ-2020 по профильной математике

Версия для печати

Задание#T7542

Бесконечная арифметическая прогрессия

состоит из различных натуральных чисел.

Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел ровно три числа делятся на ?
Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел ровно чисел делятся на ?
Для какого наибольшего натурального может оказаться так, что среди чисел больше кратных , чем среди чисел ?

Показать разбор

Решение.

А) Подходящим примером является прогрессия с первым членом и разностью . Среди первых семи её членов (

) ровно три делятся на .

Б) Обозначим через разность арифметической прогрессии

Из условия следует, что — натуральное число. Пусть и — натуральные числа,

, НОД (

) обозначает наибольший общий делитель чисел и . Имеем

.

Следовательно, разность

делится на тогда и только тогда, когда разность

делится на

.

Значит, если среди членов арифметической прогрессии

есть кратные , то это члены с номерами вида

, где — номер первого члена, кратного

, а пробегает все неотрицательные целые числа.

Поэтому среди любых последовательных членов прогрессии

ровно один будет делиться на .

Если

, то

и среди чисел

будет по крайней мере чисел, кратных . Если же

, то

и среди чисел

будет не более чисел, кратных . Значит, не существует такой прогрессии, в которой среди чисел

ровно чисел делятся на .

В) Обозначим через целую часть числа — наименьшее целое число, не превосходящее . По доказанному в пункте Б) среди любых последовательных членов прогрессии

ровно один будет делиться на , где

, — разность арифметической прогрессии.

Значит, среди чисел

кратными будут не более

чисел. Аналогично среди чисел

кратными будут не менее

чисел.

Неравенство

выполнено тогда и только тогда, когда

. Пусть это равенство выполнено. Тогда разность между числами

и

меньше .

Получаем, что

и

.

Значит,

,

и

. Поскольку число не превосходит , отсюда следует, что

.

Рассмотрим прогрессию с первым членом и разностью . Тогда среди чисел

ровно два делятся на (

и

). Среди чисел

ровно одно делится на (

). Этот пример показывает, что может равняться .

Ответ:

Да, например, прогрессия ;
нет;
.

Критерии оценки

4 баллаПолучены верные обоснованные ответы в пунктах А, Б и В

3 баллаПолучены верные обоснованные ответы в пунктах А и Б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах А и В

2 баллаПолучен верный обоснованный ответ в пункте Б, пункты А и В не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте В, пункты А и Б не решены

1 баллПриведён пример в пункте А, пункты Б и В не решены

0 балловРешение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Это задание составили эксперты «СтатГрада» для Яндекса

Это задание решали 24 тыс. раз. С ним справились 8% пользователей.

Это задание в разделах:

Числа и их свойства

Это задание в тестах:

Тренировочный вариант ЕГЭ по математике профильного уровня №35 (диагностическая работа «СтатГрада»)

Рекомендованные задания

Для составления персональной подборки решено недостаточно заданий.

Повышайте свой балл на экзамене!

Решать задания

0 баллов сегодня

дней без пропуска

0

чт

0

пт

0

сб

0

вс

0

пн

0

вт

0

ср