Я не могу пройти проверку сайта на мобилопригодность из-за наличия flash-элементов. Что делать?

Одним из требований при подтверждении мобилопригодности страниц является отсутствие flash-элементов. Если Вы хотите разместить видео, пожалуйста, используйте HTML5 video. Это упростит просмотр страницы для пользователя.

Валидацию на что? На мобилопригодность или вообще на корректность HTML на странице?

Первое есть в Вебмастере, второе тут можно: http://validator.w3.org/

Вам стоит отказаться от наличия flash-элементов, так как в основных браузерах поддержка flash завершится в 2021 году и ваши пользователи будут видеть серые окна.