Нет, это то, что называется народная этимология. Хотя в Париже есть табличка на Монмартре, где предприимчивый владелец бистро написал, что здесь впервые русские сказали «Быстро! Быстро!».
На самом деле словари до примерно 80-х годов XIX века этого слова вообще не знают. Но были другие однокоренные слова: bistraud — «слуга трактирный», bistrouille — «плохая водка». И от этого в конце XIX века возникло наименование «бистро» — так называли дешевые пивные заведения для простых людей. А в 70-х годах XX века вошли в моду новые бистро — где интерьер как в старых, а кухня — хорошая, стильная, но недорогая. И возник даже термин «бистрономия».
Это достаточно популярная байка, но вероятнее всего, это не так. Битро появилось в 1880х годах, когда русских в Париже почти не было. Зато были наименования алкогольных напитков, такие как bist(r)ouille, bistringue или bistroquet.