Здравствуйте! Возможно ли использовать API на этапе разработки на виртуальном сервере, или обязательно разместить уже рабочий проект в сети?

Сервер разработки может быть где угодно и называться как угодно.
Правила использования они между сайтом и его посетителями, а не его создателями.