Оказывается, в Метрике можно увидеть те поисковые фразы, которые задавались во внутреннем поиске по сайту.

Для этого надо, чтобы URL страницы результатов поиска выглядел так site.ru/?search=поисковый запрос. Т.е. поисковая фраза передается в виде параметра.

В этом случае в отчете Содержание - Параметры URL в значениях параметра search (или же того, который используется у вас на сайте) можно увидеть те поисковые запросы, которые задавались на сайте.