Вы, как вы правильно заметили, можете создать прозрачную форму поиска и вписать ее в дизайн сайта, вставив в специально созданный для этого блок. В самом блоке Вы можете указать, что это именно поиск по сайту. Впрочем, это абсолютно необязательно, так как поиск, размещенный на сайте и вписанный в дизайн сайта, ассоциируется у посетителей именно с поиском по этому сайту.
Кроме того, Вы можете сделать выдачу поиска на странице вашего сайта, эта возможность описана в разделе «Результаты поиска». Там есть пункт «Где показывать  результаты», измените  настройку «в домене Яндекса»  на «в iframe на странице», и пользователь будет оставаться на вашем сайте и на нем же видеть результаты выдачи.