Добрый день!

Такой возможности в рамках Поиска для сайта пока нет, так как это именно сервис с широкими настройками пользовательского поиска, а не API. Если вам нужно автоматизировать отправку запросов – отправка роботных запросов, то для этого вам лучше подойдет Яндекс.XML (http://xml.yandex.ru/), так как Поиск для сайта вам будет показывать в этих случаях капчу при отправке роботных запросов.

Если же вы все-таки хотите использовать сервис для пользователей, но какого-то функционала настройки вам не хватает, пожалуйста, напишите, что именно, мы посмотрим, сможем ли реализовать его.

На сайте есть свой поиск, но он иногда не все находит. Тогда критерий поиска передается в Яндекс-поиск с фильтрацией "только на своем сайте". Т.е., форма поиска Яндекса не нужна, т.к. вместо нее своя форма поиска на сайте.
Полученные результаты без искажений (логотипы и копирайты Яндекса) отображаются на сайте в iframe.
Поэтому и понадобился прямой get-запрос.