Про рамки: в стилях вашего сайта есть слишком широко применяемые правила, написанные для:

table

table td, table th

Среди этих правил есть и про рамки, и про отступы, если хочется их убрать, то начать можно с добавления:

.ya-site-form__form table {

    border: medium none;

    margin-bottom: 0;

}

.ya-site-form table td {

    padding: 0;

}

— уже это заметно улучшит картину.

Про новую вкладку: такое поведение наблюдается, когда вы открываете новые вкладки, а потом возвращаетесь для перезадачи вопроса на исходную страницу? Если так, то да, о таком поведении знаем. Для таких случаев мы рекомендуем размещать форму поиска на странице с результатами, чтобы не пришлось пользователям возвращаться обратно на исходную страницу для перезадачи запроса. Со своей стороны тоже работаем над решением этой проблемы.