1. Вам нужно выбрать прозрачную форму поиска (форма без фона) на странице "Форма поиска". После сохранения нужно обновить код формы на сайте.

2. Если вы хотите убрать фон у самого поля для воода запроса (или заменить его картинкой, как вам будет удобнее), то вам нужно сразу после кода для вставки формы поиска вставить такой вот CSS:

#ya-site-form0 .ya-site-form__form .ya-site-form__input-text,
#ya-site-form0 .ya-site-form__form .ya-site-form__input-text
{
    background: none;
}