Силовые линии. Продолжение https://yandex.ru/q/science/12498923778/

Хотелось бы сделать ещё два важных замечания о силовых линиях электростатического (э/ст) поля:
1) Они не могут проникать вглубь проводящего материала. Поле внутри проводника равно нулю. Как только Е станет отлично от нуля, заряды перераспре-делятся (это в диэлектрике они закреплены!) и скомпенсируют возникшее поле.
2) Работа э/ст поля (или работа против сил э/ст поля) зависит только от положения начальной и конечной точки, но не от вида траектории.
Действительно, пусть есть заряд Q (рис. ниже-слева) и мы хотим переместить другой заряд (отрицательный) из точки a в точку f . Заметим, что перемещая заряд по любой дуге окружности ( ab ; cd ; ef ) с центром в точке Q мы работы не совершаем. Просто потому, что сила со стороны Q направлена по радиусу окружности и перпендкулярна перемещению. Работа же совершаемая при перемещении от b к с зависит только от расстояния b и с от Q и никак не зависит от того на каком луче (угла наклона луча) лежат эти точки. Таким образом, я могу, делая очень маленькие шажки, то по дуге, то по радиусу с центром в Q, пройти от a к f , совершив работу, которая зависит только от расстояния от Q. Суммарная работа окажется зависящей только от расстояний точек a и f от Q.
Это и неудивительно. В противном случае, существовал бы такой замкнутый контур (рис ниже-справа), в котором можно было бы пройти от А к В по часовой стрелке совершив некую работу, а потом вернутся из В в А, заставив поработать поле. Если работы не равны, то можно и вечный двигатель получить.

Но, если работа э/ст сил (поля) зависит только от начальной и конечной точки, то это поле потенциальное и можно (как и в случае с гравитацией) ввести понятие потенциальной энергии заряда в э/ст поле.*
В случае единичного заряда, потенциальную энергию называют потенциалом. Его размерность — сила * перемещение или [dr]/[r^2] . Похоже на 1/r .  (d это символ маленького изменения; например dW – энергии ).  Проверим, посчитав силу:
dА=F*dr = dW. F = dW/dr ~ [Q /r – Q /(r + dr )] / dr = [Q dr/(r*(r+dr)) ] /dr . В знаменателе в сомножителе (r+dr) пренебрегаем dr,
получаем F ~ Q/ r^2  (для единичного заряда, Q создаёт поле).

Потенциал полезное изобретение. Со скалярными величинами работать бывает проще, чем с векторными. Итак:
Разность потенциалов (dФ) между двумя точками равно работе, совершаемой эл/с. полем по перемещению единичного положи-тельного заряда из точки в точку. Т.е. Ф характеризует 2 точки. Если одну (Ro) выбрать за начало отсчёта, то любая другая характеризуется напряжением по отношению к этой точке (Ro). Это напряжение называют потенциалом (обозначают греческим «фи», буду писать Ф. Чаще всего нулевой  потенциал приписывают бесконечно удалённой точке. Тогда Ф= работе по переносу ед. положительного заряда в бесконечность. Повторюсь, dА= dW =E*dr = dФ 
 Пример 1) Силовые линии заряженной сферы (R, чёрная) рисовали (https://yandex.ru/q/science/12498923778/ ) (рис ниже-слева). Дорисуем потенциал Ф . Внутри сферы поле (Е) ноль, значит Ф постоянно; на бесконечности Ф стремится к нулю как 1/r ; на радиусе сферы кривые должны сшиваться Ф(R) =Q/(R*диэл.пост).

П

Пример 2) Нарисуем поверхности равного потенциала (эквипотенциали) для заряда (для сферы — при расстояниях больше радиуса сферы— то же самое). Ф~ 1/r , значит эквипотенциали - сферы. Обратите внимание, Е перпендикулярно эквипотенциалям (почему?).
Пример 3) А что будет, если металлическую сферу заземлить, а внутрь сферы поместить положительный заряд? Ответ: Заряды перераспределятся по поверхности (увеличенный рис части сферы ниже-слева), отрицательные прижмутся к внутренней, положительные останутся на внешней (нужное количество отрицательных придёт из «земли») и сделают они это так, чтобы потенциал сферы стал равным потенциалу земли (нулю). За пределы сферы силовые линии не проникнут. Поле такой конструкции окажется равным нулю. Это эффект называется экранированием э/ст поля.
Усложним задачу. На расстоянии d от бесконечно большой заземлённой проводящей пластины находится точечный зарял +q. C какой силой действует на него пластина? 

Рис выше-справа. Заряды на заземленной пластине опять перераспределились, обеспечив нулевой потенциал пластине и исказив линии поля заряда так, чтобы у пластины они были ей перпендикулярны. Слева от пластины поле равно нулю. Бесконечная пластина заэкранировала поле, разделив пространство на две части ничуть не хуже сферы. (в реальной жизни поле будет провисать на краях пластины, но мы такими подробностями пренебрегаем)
Приведённая для правой полуплоскости картинка тождественна картине поля для двух разноимённых равных по модулю зарядов, симметрично расположенных относительно металлической плоскости.

Чтобы её получить, хотелось бы просто наложить две картинки полей для каждого заряда. Но номер не пройдёт! Получим пересекающиеся линии, а Е должно быть определено однозначно. Придётся решать аналитически, это несложно, но нудно. Однако, если решить, то получится картинка выше-справа, а увеличенное изображение выше-слева. В силу симметрии легко поверить, что ровно посередине между зарядами поле перпендикулярно плоскости (с чего бы ему наклонится?), а потенциал по плоскости равен нулю. Если это так, то сила взаимодействия между зарядами равна силе взаимодействия заряда и плоскости. А как считать силу для зарядов известно: F=(q^2)/{[(2d)^2]*диэл.пост}
Пример 4) Два заряженных металлических шарика радиуса R и r (R>r) соединили длинной медной проволокой. Сравнить напряжённости полей у поверхностей шариков.
Решение. Раз шарики соеденены их потенцалы равны, т.е. Q/R=q/r . E~плотности зарядов (но заряд проводящего шарика на поверхности). Тогда E1~Q/R^2 ; E2~ q/r^2 и E1/E2=r/R < 1 , т.е. напряженность поля больше у поверхности меньшего шарика. 

============================================
* У Максвелла все эти рассуждения записываются так - rotE=0. Весь предыдущий пост сводится к divE= плотность заряда. И в этом сила и красота математики.