Как вычислить температуру звезды на основе данных о её светимости и размерах?

Здравствуйте! Методов определения температуры очень много вообще есть…
Для начала напомню, что температура характеризует среднюю кинетическую энергию одной частицы вещества. Вернее сказать, кинетическая температура, потому что температур есть много - и яркостная, и цветовая, и эффективная… много их.  Сейчас объясню.
Ваш вопрос сводится к методам определения температуры на основании законов излучения абсолютно черного тела (АЧТ). Но я отмечу, что все эти методы неточны, поэтому применяются для получения приближенных оценок температуры.
Итак, звезды, помним, у нас из газа состоят. Оптические толстые слои газа (то есть непрозрачные - такие слои поглощают излучение) дают сильное излучение в непрерывном спектре . Чем эти слои глубже располагаются к центру звезды, тем они непрозрачнее, тем лучше они изолированы от окружающей среды - то есть их излучение близко к равновесному. А излучение АЧТ есть излучение полностью изолированного от окружающей среды тела, при том всюду его температура одинакова - такое излучение определяется только температурой тела и называется равновесным излучением. Так вот, излучение самых глубоких слоев звезды близки к равновесному. Вот для них законы излучения АЧТ поэтому выполняются довольно точно. Но загвоздка в том, что мы при наблюдении за звездой видим излучение не этих самых глубоких слоев, а тех, которые находятся между внутренними слоями и самыми внешними. Внутренние - более глубокие слои мы не видим из-за того что они непрозрачны, а самые внешние слои мы также не видим потому что они слабо излучают (эти слои оптически тонкие, и излучение оптически тонкого слоя пропорционально его оптической толщине, которая для таких слоев мала). В общем, мы видим те слои звезды, которые расположены на глубине, дальше которой вещество (газ) становится непрозрачным. Для них величина оптической толщины примерно равна 1 (ну это так, для общего развития). Так как такие слои вовсе не являются полностью изолированными, или почти полностью изолированными от окружающей среды, как самые глубокие, здесь законы излучения АЧТ выполняются приблизительно. Но выполнятся. Для оценок пойдет.
Итак, излучение АЧТ у нас определяется формулой Планка (ой как мне лень ее писать. Но надо):

Во. Пусть это у нас будет уравнение (1). Тут ε (c индексом λ) есть излучательная способность АЧТ и определяется она так, что εdλ равно потоку, излучаемому одним квадратным см поверхности тела по всем направлениям, в интервале спектра от λ до λ+dλ - то есть в определенном узком интервале длин волн (то же самое можно применить используя частоты вместо длин волн). Да, λ это длина волны, k - больцмановская постоянная, h - планковская постоянная, ну и с  - скорость света, куда ж без неё.  Если мы по этой формуле (1) построим график, откладывая по горизонтали длину волны λ, а по вертикали интенсивность излучения ε, то получим распределение энергии в спектре АЧТ:

Вот у меня тут для разных температур: 7000К, 6500К, 6000К, 5500К, 5000К и 4500К (они подписаны) нарисованы кривые. На жирную кривую пока не смотрим. То есть, если мы рассмотрим самую верхнюю планковскую кривую - мы можем сказать, что АЧТ с температурой в 7000К (в кельвинах у нас температура) имеет такое распределение энергии в спектре. Стрелочками показан максимум излучения, для наших 7000К максимум излучения приходится на длину волны около 4000А (в ангстремах). Этот максимум можно найти по закону смещения Вина (2):

Тут у меня не ангстремы, а сантиметры. Смысл этого закона какой? С увеличением температуры максимум излучения АЧТ смещается в коротковолновую (УФ) область спектра. Ну видно по формуле (2) да и на рисунке. Чем больше температура в знаменателе, тем меньше длина волны. 

Так. На чем я там остановилась то. Итак, звезды, как я уже сказала, не излучают как АЧТ, но почти излучают как АЧТ, поэтому для них можно подобрать такую планковскую кривую, которая бы приблизительно давала распределение энергии в ее спектре. А это, в свою очередь, позволит в грубом приближении применить законы Планка, Вина и Стефана-Больцмана к её излучению. Про закон Планка и Вина я Вам сказала, а про Стефана-Больцмана скажу попозже.

Вернитесь к рисунку и теперь смотрите на жирную кривую, которая "кривее всех кривых". Это кривая распределения энергии в спектре подобрана для Солнца, для звезды нашей. Видно, да, что эта кривая в точности не совпадает ни с одной планковской? Видно. Хотя бы потому что мы тут не наблюдаем резкого максимума излучения. Но он тут показан на длине волны 4300А. То есть это у нас λmax из формулы Вина (2). Смотрите, мы подобрали кривую для звезды, знаем максимум ее излучения, значит, применяя формулу Вина (2), можем определить температуру Солнца, и получается она равной 6750К. 
Полная энергия, излучаемая Солнцем (звездой), измерена и равна ε=6.28*10^10 эрг/(сек*см^2). Дальше я обещала сказать про закон Стефана-Больцмана: мощность излучения АЧТ пропорциональная четвертой степени температуры АЧТ, то есть каждый квадратный см поверхности АЧТ за 1 секунду по всем направлениям излучает во всех длинах волн энергию равную (3):

это и есть закон Стефана-Больцмана. σ это постоянная Стефана-Больцмана, коэффициент пропорциональности.  Так вот, для Солнца ε мы знаем, значит, можем вычислить по формуле Стефана-Больцмана температуру, и она оказывается равной 5770К. Вот эта температура и называется эффективной - температура такого АЧТ, 1 квадратный см которого ВО ВСЕМ СПЕКТРЕ излучает точно такой же поток энергии, как и 1 квадратный см рассматриваемого тела (в нашем случае звезды - Солнца). То есть это температура звезды, если бы она излучала во всем спектре, во всех длинах волн, как АЧТ. 

Яркостная и цветовая температуры теперь. Яркостная температура есть температура такого АЧТ, 1 квадратный см поверхности которого В НЕКОТОРОЙ ДЛИНЕ ВОЛНЫ излучает такой же поток энергии, как и рассматриваемое тело в той же длине волны. То есть яркостная температура то же самое, что и эффективная, только тут рассматривается не весь спектр, а какой-то маленький диапазон длин волн. Чтобы посчитать яркостную температуру, нужно применить формулу Планка (1). Понятно, что для различных длин волн мы получим для одного и того же тела различные температуры! Для нашего Солнца, возвращайтесь к рисунку - яркостная температура в длине волны 1000А равна 4500К, в 2500А меняется уже до 5000К, в длине волны 5500А равна 6400К, например. Просто берем формулу Планка для монохроматичекого излучения (для очень узкого участка, грубо говоря, для одной длины волны) и по известной интенсивности излучения находим температуру.

Цветовую температуру гораздо проще определить - это температура такого АЧТ, у которого распределение энергии в некотором участке спектра, такое же, как и у рассматриваемого тела. Если мы вернемся к рисунку, то увидим, что если, допустим, рассмотреть область длин волн 5000-6000А, то цветовая температура Солнца соответствует планковской кривой с 7000К. Если рассмотреть область 4700-5400А, то цветовая температура уже 6500К, а в 4300-4700А и вовсе уже целых 8000К. То есть тут задача подобрать к нашей "звездной" кривой такую планковскую, чтобы наклон нашей кривой совпадал с подобранной планковской в одном и том же участке спектра (длинах волн). Планковские кривые, как мы помним, характеризуются температурой, а значит, подобрав планковскую кривую, мы сможем определить цветовую температуру. Цветовая температура чем-то аналогична яркостной. 

Так, возвращаемся к Вашему вопросу - про светимость и размеры звезды то надо сказать. Вспоминаем закон Стефана-Больцмана (3) - он нам даёт поток энергии ε, которую по всем направлениям излучаем 1 кв.см поверхности звезды. Полный поток, излучаемый всей звездой, суть светимость L, мы получим, если умножим это ε на площадь поверхности звезды (то есть сферы) - на 2πR^2, где R у нас и есть размеры, то есть радиус звезды. В общем, светимость звезды у нас получается, исходя из этих соображений и формулы Стефана-Больцмана равной  

L=4πR^2σT^4                   (4).

Если мы знаем, по Вашему вопросу, светимость L и размеры, суть радиус R звезды, можем получить её эффективную температуру по (4). Пользуясь законом Стефана-Больцмана (3) можем узнать поток, излучаемый 1 кв.см поверхности ε, и потом уже измерить другие температуры, применяя законы излучения АЧТ - формулы Планка и Вина, яркостные и цветовые температуры. 

У меня всё!