Это одно и то же слово, адаптированное через разные языки. В общем, было арабское имя Uthman, в турецкий оно попало как Osman (Османская империя - это империя султана по имени Осман), а в Европе закрепилось через свой вариант на латыни - Ottomanus.
Соответственно, там, где было велико культурное влияние Европы, появились и стали традиционными в той или иной степени всякие разные "тт" - и империя Оттоманская, и турки - оттоманы, и турецкий диван - оттоманка.