Ну, распредедение Пуассона возникает не на пустом месте.
Во-первых оно легко получается из экспоненциального распределения (если время за котороечто-то происходит в срежнем 1/lambda, то в среднем за T времени произойдет lambda×T событий) , а экспоненйиальное распределение получается из решения уравнения P(x<c|x>0)=P(x<c+a|x>a>0) для любых a.
а во-вторых как предел биномиального при ожидаемом np=const при n-> oo(здесь мы считаем, что единица времени равномерно разбита на n кусочков и мы устремляем частоту дискретизации к нулю, откуда получаем распределение количества событий за единицу времени при условии, что время течет непрерывно, а не отсчитываются тики, попытки или эксперименты.