Если по договору мены получены 3/16 доли квартиры, нужно ли платить налог с продажи через 3-5 лет?

Изменение размера вашей доли в праве общей долевой собственности в квартире на основании договора мены не обнуляет срок владения. 

Он отсчитывается с первой  13/16 доли (смотрите Письмо Департамента налоговой и таможенной политики Минфина России от 15 ноября 2019 г. N 03-04-05/88189).

До 2016 года действовал единый минимальный предельный срок владения для продажи без уплаты НДФЛ по любым основаниям перехода права собственности-3 года.

С 2016 года срок 3 года сохранился:

По всем остальным основаниям-срок 5 лет. Исключения:продажа в статусе единственного жилья по истечении 3-х летнего срока владения, продажа вне зависимости от срока владения без налогов при соблюдении условий пункта 2.1 ст.217.1 НК РФ. 

Вам надо определить точку отсчета срока владения первой доли (13/16). Стандартно срок отсчитывается с даты регистрации права собственности, но есть исключения, например срок владения квартирой (долей), приобретенной по договору участия в долевом строительстве отсчитывается с даты полной оплаты такого договора. 

От точки отсчета и будет зависеть когда будет освобождена ваша продажа от уплаты НДФЛ.

С уважением, Алсу Булатова 

Юрист| Налоговый консультант| Риэлтор 

Здравствуйте. В вашей ситуации срок владения считаются с даты собственности 13/16 - Письмо Минфина от 13.01.2015 N 03-04-05/69528.
На основании какой сделки и когда именно была получена в собственность 13/16?

Срок владения считайте с даты получения первой доли. Дата отсчета зависит на каком основании она вам досталась.