Могу ли я обратиться в суд с тем фактом, что мне поступают угрозы в сообщения социальных сетей?

Социальная сеть - приравнивается к общению по телефону, смс сообщению, мессенджерам. Можете смело обращаться. Факт реального сообщения по запросу суда подтвердят админы соц.сети. либо зафиксировать у нотариуса за платно.

Так как угроза является уголовным преступлением сначала надо обратится в органы дознания, установить личность угрожающего и подтвердить факт угрозы. Т.е. полностью пройти предусмотренную УПК процедуру расследования преступления, а в суд уже будут обращаться компетентные органы если смогут собрать доказательную базу.

Конечно можете. Ст. 119 УК РФ.
Сделайте скриншот.
Заявление составите через Дежурную часть.
Получите талон.

Скриншот при наличии желания, и главное денег, можно закрепить нотариально, о чем нотариус составит акт.