Как поступить в 10 класс в середине года в формате экстерната, и возможно ли это?

В начале уточним, что в обычном понимании экстерната нет во всех без исключения образовательных учреждениях. Данный термин теперь используется только на обывательском уровне. Два десятка лет назад наше законодательство изменило форму экстерната, то есть экстернат в современной трактовке представляет собой форму аттестации на семейном образовании и самообразовании. Здесь, как правило, ребенок автономно изучает все предметы, входящие в учебный план, затем досрочно (экстерном) проходит промежуточную и итоговую аттестацию.

Поступить в десятый класс (в том числе и с первого курса колледжа) в новом формате можно в любое время. Согласно российскому законодательству (см. статью 17 «Формы получения образования и формы обучения» ФЗ «Об образовании в Российской Федерации», Приказы Министерства просвещения РФ «Об организации получения образования в семейной форме» и новый Порядок перехода и организации получения образования в семейной форме обучения, действует с 2021 года) переход учащихся на другие формы обучения разрешается в любом классе и на любой стадии учебного года. Исключение составляют 9 и 11 классы, где такой переход возможен только в начале учебного года, то есть в сентябре. Кроме традиционного обучения, в российских школах дети могут учиться и за пределами учебной организации. При этом у учащихся есть право выбора формы обучения (семейная и самообразование). С 1 по 9 классы они могут перейти на семейное образование, для учащихся 10-11 классов возможно только самообразование. В данном контексте исключением является домашнее обучение, при котором учителя школы приходят к ученику. Чаще всего эта форма является вынужденной, вызванной инвалидностью или болезнью ребенка.

В вашем случае можно обращаться в любую школу (вне зависимости от ее типа), которая имеет разрешительные документы (лицензия/аккредитация). Предварительно необходимо написать заявление в территориальные/муниципальные органы управления образования и выбрать нужную организацию. После зачисления в десятый класс вы можете досрочно (бесплатно) пройти промежуточную и государственную итоговую аттестацию. 

Правила экстерната определяются самостоятельно учебным заведением. Прикрепиться к школе в режиме экстерната можно в любое время, ограничений нет. Порядок сдачи аттестационных работ определяет сама школа: по согласованию с ней можно выполнить их и за полгода.